HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhshsslem2 28456
Description: Lemma for hhsssh 28457. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhsst.2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssp3.3 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4 𝐻 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
hhshsslem2 𝐻S

Proof of Theorem hhshsslem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssp3.4 . . 3 𝐻 ⊆ ℋ
2 hhsst.1 . . . . . 6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
32hhnv 28353 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
4 hhssp3.3 . . . . 5 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
52hh0v 28356 . . . . . 6 0 = (0vec𝑈)
6 eqid 2761 . . . . . 6 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
7 eqid 2761 . . . . . 6 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
85, 6, 7sspz 27921 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (0vec𝑊) = 0)
93, 4, 8mp2an 710 . . . 4 (0vec𝑊) = 0
107sspnv 27912 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
113, 4, 10mp2an 710 . . . . . 6 𝑊 ∈ NrmCVec
12 eqid 2761 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
1312, 6nvzcl 27820 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
1411, 13ax-mp 5 . . . . 5 (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
15 hhsst.2 . . . . . 6 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
162, 15, 4, 1hhshsslem1 28455 . . . . 5 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
1714, 16eleqtrri 2839 . . . 4 (0vec𝑊) ∈ 𝐻
189, 17eqeltrri 2837 . . 3 0𝐻
191, 18pm3.2i 470 . 2 (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻)
202hhva 28354 . . . . . . 7 + = ( +𝑣𝑈)
21 eqid 2761 . . . . . . 7 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
2216, 20, 21, 7sspgval 27915 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
233, 4, 22mpanl12 720 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
2416, 21nvgcl 27806 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
2511, 24mp3an1 1560 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
2623, 25eqeltrrd 2841 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
2726rgen2a 3116 . . 3 𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻
282hhsm 28357 . . . . . . 7 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
29 eqid 2761 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
3016, 28, 29, 7sspsval 27917 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
313, 4, 30mpanl12 720 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
3216, 29nvscl 27812 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
3311, 32mp3an1 1560 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
3431, 33eqeltrrd 2841 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
3534rgen2 3114 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻
3627, 35pm3.2i 470 . 2 (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
37 issh2 28397 . 2 (𝐻S ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻) ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)))
3819, 36, 37mpbir2an 993 1 𝐻S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  wss 3716  cop 4328   × cxp 5265  cres 5269  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  NrmCVeccnv 27770   +𝑣 cpv 27771  BaseSetcba 27772   ·𝑠OLD cns 27773  0veccn0v 27774  SubSpcss 27907  chil 28107   + cva 28108   · csm 28109  normcno 28111  0c0v 28112   S csh 28116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-hilex 28187  ax-hfvadd 28188  ax-hvcom 28189  ax-hvass 28190  ax-hv0cl 28191  ax-hvaddid 28192  ax-hfvmul 28193  ax-hvmulid 28194  ax-hvmulass 28195  ax-hvdistr1 28196  ax-hvdistr2 28197  ax-hvmul0 28198  ax-hfi 28267  ax-his1 28270  ax-his2 28271  ax-his3 28272  ax-his4 28273
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-grpo 27678  df-gid 27679  df-ginv 27680  df-gdiv 27681  df-ablo 27730  df-vc 27745  df-nv 27778  df-va 27781  df-ba 27782  df-sm 27783  df-0v 27784  df-vs 27785  df-nmcv 27786  df-ssp 27908  df-hnorm 28156  df-hvsub 28159  df-sh 28395
This theorem is referenced by:  hhsssh  28457
  Copyright terms: Public domain W3C validator