HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhph 28336
Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
Assertion
Ref Expression
hhph 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem hhph
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . . 3 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
21hhnv 28323 . 2 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3 normpar 28313 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2)) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
4 hvsubval 28174 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
54fveq2d 6348 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 𝑦)) = (norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦))))
65oveq1d 6820 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) = ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2))
76oveq2d 6821 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) = (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)))
8 hvaddcl 28170 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ)
9 normcl 28283 . . . . . . . . 9 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ ℝ)
1110recnd 10252 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ ℂ)
1211sqcld 13192 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
13 hvsubcl 28175 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) ∈ ℋ)
14 normcl 28283 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℝ)
1514recnd 10252 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℂ)
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℂ)
1716sqcld 13192 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
1812, 17addcomd 10422 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) = (((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2)))
197, 18eqtr3d 2788 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2)))
20 normcl 28283 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2120recnd 10252 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
2221sqcld 13192 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) ∈ ℂ)
23 normcl 28283 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
2423recnd 10252 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℂ)
2524sqcld 13192 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦)↑2) ∈ ℂ)
26 2cn 11275 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
27 adddi 10209 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ ((norm𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((norm𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
2826, 27mp3an1 1552 . . . . 5 ((((norm𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((norm𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
2922, 25, 28syl2an 495 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
303, 19, 293eqtr4d 2796 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))))
3130rgen2a 3107 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2)))
32 hilablo 28318 . . . 4 + ∈ AbelOp
3332elexi 3345 . . 3 + ∈ V
34 hvmulex 28169 . . 3 · ∈ V
35 normf 28281 . . . 4 norm: ℋ⟶ℝ
36 ax-hilex 28157 . . . 4 ℋ ∈ V
37 fex 6645 . . . 4 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → norm ∈ V)
3835, 36, 37mp2an 710 . . 3 norm ∈ V
39 hhnv.1 . . . . 5 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
4039eleq1i 2822 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD)
41 ablogrpo 27702 . . . . . . 7 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
4232, 41ax-mp 5 . . . . . 6 + ∈ GrpOp
43 ax-hfvadd 28158 . . . . . . 7 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4443fdmi 6205 . . . . . 6 dom + = ( ℋ × ℋ)
4542, 44grporn 27676 . . . . 5 ℋ = ran +
4645isphg 27973 . . . 4 (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ norm ∈ V) → (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))))))
4740, 46syl5bb 272 . . 3 (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ norm ∈ V) → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))))))
4833, 34, 38, 47mp3an 1565 . 2 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2)))))
492, 31, 48mpbir2an 993 1 𝑈 ∈ CPreHilOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  Vcvv 3332  cop 4319   × cxp 5256  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  -cneg 10451  2c2 11254  cexp 13046  GrpOpcgr 27644  AbelOpcablo 27699  NrmCVeccnv 27740  CPreHilOLDccphlo 27968  chil 28077   + cva 28078   · csm 28079  normcno 28081   cmv 28083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-hilex 28157  ax-hfvadd 28158  ax-hvcom 28159  ax-hvass 28160  ax-hv0cl 28161  ax-hvaddid 28162  ax-hfvmul 28163  ax-hvmulid 28164  ax-hvmulass 28165  ax-hvdistr1 28166  ax-hvdistr2 28167  ax-hvmul0 28168  ax-hfi 28237  ax-his1 28240  ax-his2 28241  ax-his3 28242  ax-his4 28243
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-grpo 27648  df-gid 27649  df-ablo 27700  df-vc 27715  df-nv 27748  df-ph 27969  df-hnorm 28126  df-hvsub 28129
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  28338  hhhl  28362  hhssph  28432  pjhthlem2  28552
  Copyright terms: Public domain W3C validator