Theorem hhcms 28365

Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhcms.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhcms.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhcms	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Proof of Theorem hhcms

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2756	. 2 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2		hhcms.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3		hhcms.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
4	2, 3	hhmet 28336	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ ℋ)
5	2, 3	hhcau 28360	. . . . . 6 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
6	5	eleq2i 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ 𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
7		elin 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
8		ax-hilex 28161	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ ∈ V
9		nnex 11214	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
10	8, 9	elmap 8048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
11	10	anbi2i 732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
12	7, 11	bitri 264	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
13	6, 12	bitri 264	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
14		ax-hcompl 28364	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
15	13, 14	sylbir 225	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
16	2, 3, 1	hhlm 28361	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
17	16	breqi 4806	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥)
18		vex 3339	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
19	18	brres 5556	. . . . . 6 ⊢ (𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥 ↔ (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥 ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
20	17, 19	bitri 264	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥 ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
21		vex 3339	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
22	21, 18	breldm 5480	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
23	22	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥 ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
24	20, 23	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
25	24	rexlimivw 3163	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
26	15, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
27	1, 4, 26	iscmet3i 23306	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  ∃wrex 3047   ∩ cin 3710  ⟨cop 4323   class class class wbr 4800  dom cdm 5262   ↾ cres 5264  ⟶wf 6041  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809   ↑_𝑚 cmap 8019  ℕcn 11208  MetOpencmopn 19934  ⇝_𝑡clm 21228  Caucca 23247  CMetcms 23248  IndMetcims 27751   ℋchil 28081   +_ℎ cva 28082   ·_ℎ csm 28083  norm_ℎcno 28085  Cauchyccau 28088   ⇝_𝑣 chli 28089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cc 9445  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204  ax-hilex 28161  ax-hfvadd 28162  ax-hvcom 28163  ax-hvass 28164  ax-hv0cl 28165  ax-hvaddid 28166  ax-hfvmul 28167  ax-hvmulid 28168  ax-hvmulass 28169  ax-hvdistr1 28170  ax-hvdistr2 28171  ax-hvmul0 28172  ax-hfi 28241  ax-his1 28244  ax-his2 28245  ax-his3 28246  ax-his4 28247  ax-hcompl 28364

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-omul 7730  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-acn 8954  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ico 12370  df-fz 12516  df-fl 12783  df-seq 12992  df-exp 13051  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-rest 16281  df-topgen 16302  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-top 20897  df-topon 20914  df-bases 20948  df-ntr 21022  df-nei 21100  df-lm 21231  df-fil 21847  df-fm 21939  df-flim 21940  df-flf 21941  df-cfil 23249  df-cau 23250  df-cmet 23251  df-grpo 27652  df-gid 27653  df-ginv 27654  df-gdiv 27655  df-ablo 27704  df-vc 27719  df-nv 27752  df-va 27755  df-ba 27756  df-sm 27757  df-0v 27758  df-vs 27759  df-nmcv 27760  df-ims 27761  df-hnorm 28130  df-hvsub 28133  df-hlim 28134  df-hcau 28135

This theorem is referenced by:  hhhl  28366  hilcms  28367