Theorem hhcmpl 28337

Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 28339 from ZFC Hilbert space theory. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhlm.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhlm.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hhlm.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcmpl.c	⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hhcmpl	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hhcmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhcmpl.c	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
2	1	anim1i 593	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
3		elin 3927	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4		r19.41v 3215	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
5	2, 3, 4	3imtr4i 281	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
6		hhlm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
7		hhlm.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
8	6, 7	hhcau 28335	. . 3 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
9	8	eleq2i 2819	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ 𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
10		hhlm.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11	6, 7, 10	hhlm 28336	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
12	11	breqi 4798	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥)
13		vex 3331	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	13	brres 5548	. . . 4 ⊢ (𝐹((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥 ↔ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
15	12, 14	bitri 264	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
16	15	rexbii 3167	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
17	5, 9, 16	3imtr4i 281	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ∃wrex 3039   ∩ cin 3702  ⟨cop 4315   class class class wbr 4792   ↾ cres 5256  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801   ↑_𝑚 cmap 8011  ℕcn 11183  MetOpencmopn 19909  ⇝_𝑡clm 21203  Caucca 23222  IndMetcims 27726   ℋchil 28056   +_ℎ cva 28057   ·_ℎ csm 28058  norm_ℎcno 28060  Cauchyccau 28063   ⇝_𝑣 chli 28064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179  ax-hilex 28136  ax-hfvadd 28137  ax-hvcom 28138  ax-hvass 28139  ax-hv0cl 28140  ax-hvaddid 28141  ax-hfvmul 28142  ax-hvmulid 28143  ax-hvmulass 28144  ax-hvdistr1 28145  ax-hvdistr2 28146  ax-hvmul0 28147  ax-hfi 28216  ax-his1 28219  ax-his2 28220  ax-his3 28221  ax-his4 28222

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-topgen 16277  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-top 20872  df-topon 20889  df-bases 20923  df-lm 21206  df-cau 23225  df-grpo 27627  df-gid 27628  df-ginv 27629  df-gdiv 27630  df-ablo 27679  df-vc 27694  df-nv 27727  df-va 27730  df-ba 27731  df-sm 27732  df-0v 27733  df-vs 27734  df-nmcv 27735  df-ims 27736  df-hnorm 28105  df-hvsub 28108  df-hlim 28109  df-hcau 28110

This theorem is referenced by:  hilcompl  28338