Theorem hhba 28364

Description: The base set of Hilbert space. This theorem provides an independent proof of df-hba 28166 (see comments in that definition). (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhba	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Proof of Theorem hhba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 28357	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 27741	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 28197	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6194	. . 3 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 27715	. 2 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		eqid 2771	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
8		hhnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
9	8	hhva 28363	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
10	7, 9	bafval 27799	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ran +ℎ
11	6, 10	eqtr4i 2796	1 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4323   × cxp 5248  ran crn 5251  ‘cfv 6030  GrpOpcgr 27683  AbelOpcablo 27738  BaseSetcba 27781   ℋchil 28116   +_ℎ cva 28117   ·_ℎ csm 28118  norm_ℎcno 28120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-hnorm 28165  df-hvsub 28168

This theorem is referenced by:  hhvs  28367  hhmet  28371  hhmetdval  28373  hhip  28374  hhcau  28395  hhlm  28396  hhhl  28401  hhlnoi  29099  hhnmoi  29100  hh0oi  29102