Theorem hgt750lemd 31027

Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemd	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		diffi 8349	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4		vmaf 25036	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6		fz1ssnn 12557	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
8	7	ssdifssd 3883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
9	8	sselda 3736	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelrnd 6515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
11	3, 10	fsumrecl 14656	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12		2rp 12022	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
14	13	relogcld 24560	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15		1nn0 11492	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4re 11281	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
17		2re 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		6re 11285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
19	18, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20		dp2cl 29888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → _62 ∈ ℝ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _62 ∈ ℝ
22	17, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ)
23		dp2cl 29888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ) → _2_62 ∈ ℝ)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _2_62 ∈ ℝ
25	16, 24	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ)
26		dp2cl 29888	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ) → _4_2_62 ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _4_2_62 ∈ ℝ
28		dpcl 29899	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ _4_2_62 ∈ ℝ) → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
29	15, 27, 28	mp2an 710	. . . . 5 ⊢ (1._4_2_62) ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
31		hgt750lemc.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnred 11219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
33	31	nnrpd 12055	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
34	33	rpge0d 12061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
35	32, 34	resqrtcld 14347	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
36	30, 35	remulcld 10254	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37		0nn0 11491	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
38		0re 10224	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 10223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41		dp2cl 29888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → _01 ∈ ℝ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _01 ∈ ℝ
43	38, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ)
44		dp2cl 29888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ) → _0_01 ∈ ℝ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ
46	38, 45	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ)
47		dp2cl 29888	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ) → _0_0_01 ∈ ℝ)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ
49		dpcl 29899	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ _0_0_01 ∈ ℝ) → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
50	37, 48, 49	mp2an 710	. . . . 5 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
52	51, 35	remulcld 10254	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
53	31	nnzd 11665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
54		chpvalz 31007	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
55	53, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56		chtvalz 31008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
57	53, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58		inss2 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
60	59	sselda 3736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61		vmaprm 25034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
63	62	sumeq2dv 14624	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
64	57, 63	eqtr4d 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
65	55, 64	oveq12d 6823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
66	10	recnd 10252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
67	3, 66	fsumcl 14655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
68		infi 8341	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
69	1, 68	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
70	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
71		inss1 3968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
72	71, 6	sstri 3745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
74	73	sselda 3736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
75	70, 74	ffvelrnd 6515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
76	75	recnd 10252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
77	69, 76	fsumcl 14655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78		inindif 29652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80		inundif 4182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
81	80	eqcomi 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
82	81	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
83	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
84	7	sselda 3736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
85	83, 84	ffvelrnd 6515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
86	85	recnd 10252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
87	79, 82, 1, 86	fsumsplit 14662	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
88	77, 67, 87	comraddd 10434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
89	67, 77, 88	mvrraddd 10629	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
90	65, 89	eqtr2d 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
91		fveq2 6344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
92		fveq2 6344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
93	91, 92	oveq12d 6823	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
94		fveq2 6344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
95	94	oveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) = ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
96	93, 95	breq12d 4809	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁))))
97		ax-ros336 31025	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥))
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)))
99	96, 98, 33	rspcdva 3447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
100	90, 99	eqbrtrd 4818	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
101	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
102		log2le1 24868	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < 1
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < 1)
104		10nn0 11700	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
105		7nn0 11498	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
106	104, 105	nn0expcli 13072	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) ∈ ℕ0
107	106	nn0rei 11487	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑7) ∈ ℝ
108	107	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) ∈ ℝ)
109	51, 108	remulcld 10254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) ∈ ℝ)
110	104	nn0rei 11487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℝ
111		0z 11572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
112		3z 11594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
113	110, 111, 112	3pm3.2i 1421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
114		1lt10 11865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < ;10
115		3pos 11298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
116	114, 115	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)
117		ltexp2a 13098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)) → (;10↑0) < (;10↑3))
118	113, 116, 117	mp2an 710	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑0) < (;10↑3)
119	104	numexp0 15974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑0) = 1
120	119	eqcomi 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (;10↑0)
121	110	recni 10236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℂ
122		10pos 11699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ;10
123	38, 122	gtneii 10333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ≠ 0
124		4z 11595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℤ
125		expm1 13096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10))
126	121, 123, 124, 125	mp3an 1565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10)
127		4m1e3 11322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 − 1) = 3
128	127	oveq2i 6816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = (;10↑3)
129		4nn0 11495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
130	104, 129	nn0expcli 13072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑4) ∈ ℕ0
131	130	nn0cni 11488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10↑4) ∈ ℂ
132		divrec2 10886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑4) ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4)))
133	131, 121, 123, 132	mp3an 1565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
134	126, 128, 133	3eqtr3ri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / ;10) · (;10↑4)) = (;10↑3)
135	118, 120, 134	3brtr4i 4826	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ((1 / ;10) · (;10↑4))
136		1rp 12021	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
137	136	dp0h 29911	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.1) = (1 / ;10)
138	137	oveq1i 6815	. . . . . . . 8 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
139	135, 138	breqtrri 4823	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ((0.1) · (;10↑4))
140	139	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0.1) · (;10↑4)))
141		4p1e5 11338	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
142		5nn0 11496	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
143	142	nn0zi 11586	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
144	37, 136, 141, 124, 143	dpexpp1 29917	. . . . . . 7 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((0._01) · (;10↑5))
145	37, 136	rpdp2cl 29890	. . . . . . . 8 ⊢ _01 ∈ ℝ+
146		5p1e6 11339	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
147		6nn0 11497	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
148	147	nn0zi 11586	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℤ
149	37, 145, 146, 143, 148	dpexpp1 29917	. . . . . . 7 ⊢ ((0._01) · (;10↑5)) = ((0._0_01) · (;10↑6))
150	37, 145	rpdp2cl 29890	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ+
151		6p1e7 11340	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 1) = 7
152	105	nn0zi 11586	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
153	37, 150, 151, 148, 152	dpexpp1 29917	. . . . . . 7 ⊢ ((0._0_01) · (;10↑6)) = ((0._0_0_01) · (;10↑7))
154	144, 149, 153	3eqtrri 2779	. . . . . 6 ⊢ ((0._0_0_01) · (;10↑7)) = ((0.1) · (;10↑4))
155	140, 154	syl6breqr 4838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (;10↑7)))
156	37, 150	rpdp2cl 29890	. . . . . . . 8 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ+
157	37, 156	rpdpcl 29912	. . . . . . 7 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ+
158	157	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ+)
159		2nn0 11493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
160	159, 105	deccl 11696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
161	104, 160	nn0expcli 13072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
162	161	nn0rei 11487	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
163	162	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
164	161	nn0ge0i 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
165	164	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;10↑;27))
166	163, 165	resqrtcld 14347	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ∈ ℝ)
167		expmul 13091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2))
168	121, 105, 159, 167	mp3an 1565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2)
169		7t2e14 11832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 2) = ;14
170	169	oveq2i 6816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = (;10↑;14)
171	168, 170	eqtr3i 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑7)↑2) = (;10↑;14)
172	171	fveq2i 6347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (√‘(;10↑;14))
173		expgt0 13079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑7))
174	110, 152, 122, 173	mp3an 1565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (;10↑7)
175	38, 107, 174	ltleii 10344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ (;10↑7)
176		sqrtsq 14201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑7)) → (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7))
177	107, 175, 176	mp2an 710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7)
178	172, 177	eqtr3i 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) = (;10↑7)
179	15, 129	deccl 11696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
180	179	nn0zi 11586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 ∈ ℤ
181	160	nn0zi 11586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;27 ∈ ℤ
182	110, 180, 181	3pm3.2i 1421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
183		4lt10 11862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;10
184		1lt2 11378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
185	15, 159, 129, 105, 183, 184	decltc 11716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 < ;27
186	114, 185	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)
187		ltexp2a 13098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)) → (;10↑;14) < (;10↑;27))
188	182, 186, 187	mp2an 710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;14) < (;10↑;27)
189	104, 179	nn0expcli 13072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℕ0
190	189	nn0rei 11487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℝ
191		expgt0 13079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑;14))
192	110, 180, 122, 191	mp3an 1565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < (;10↑;14)
193	38, 190, 192	ltleii 10344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (;10↑;14)
194	190, 193	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14))
195	162, 164	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))
196		sqrtlt 14193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14)) ∧ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))) → ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))))
197	194, 195, 196	mp2an 710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27)))
198	188, 197	mpbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))
199	178, 198	eqbrtrri 4819	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) < (√‘(;10↑;27))
200	199	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘(;10↑;27)))
201		hgt750lemd.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
202	163, 165, 32, 34	sqrtled 14356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((;10↑;27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁)))
203	201, 202	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁))
204	108, 166, 35, 200, 203	ltletrd 10381	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘𝑁))
205	108, 35, 158, 204	ltmul2dd 12113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
206	101, 109, 52, 155, 205	lttrd 10382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
207	14, 101, 52, 103, 206	lttrd 10382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
208	11, 14, 36, 52, 100, 207	lt2addd 10834	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
209		nfv 1984	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
210		nfcv 2894	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(log‘2)
211		2prm 15599	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
212	211	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
213		elndif 3869	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214	212, 213	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
215		fveq2 6344	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
216		vmaprm 25034	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
217	211, 216	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Λ‘2) = (log‘2)
218	215, 217	syl6eq 2802	. . 3 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
219		2cnd 11277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
220		2ne0 11297	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
221	220	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
222	219, 221	logcld 24508	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
223	209, 210, 3, 212, 214, 66, 218, 222	fsumsplitsn 14665	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
224	147, 12	rpdp2cl 29890	. . . . . 6 ⊢ _62 ∈ ℝ+
225	159, 224	rpdp2cl 29890	. . . . 5 ⊢ _2_62 ∈ ℝ+
226		3rp 12023	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ+
227	147, 226	rpdp2cl 29890	. . . . . 6 ⊢ _63 ∈ ℝ+
228	159, 227	rpdp2cl 29890	. . . . 5 ⊢ _2_63 ∈ ℝ+
229		1p0e1 11317	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
230		4cn 11282	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
231	230	addid1i 10407	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
232		2cn 11275	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
233	232	addid1i 10407	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 0) = 2
234		3nn0 11494	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
235		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ;62 = ;62
236		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ;01 = ;01
237		6cn 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
238	237	addid1i 10407	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 0) = 6
239		2p1e3 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
240	147, 159, 37, 15, 235, 236, 238, 239	decadd 11754	. . . . . . . 8 ⊢ (;62 + ;01) = ;63
241	147, 159, 37, 15, 147, 234, 240	dpadd 29920	. . . . . . 7 ⊢ ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
242	147, 12, 37, 136, 147, 226, 159, 37, 233, 241	dpadd2 29919	. . . . . 6 ⊢ ((2._62) + (0._01)) = (2._63)
243	159, 224, 37, 145, 159, 227, 129, 37, 231, 242	dpadd2 29919	. . . . 5 ⊢ ((4._2_62) + (0._0_01)) = (4._2_63)
244	129, 225, 37, 150, 129, 228, 15, 37, 229, 243	dpadd2 29919	. . . 4 ⊢ ((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) = (1._4_2_63)
245	244	oveq1i 6815	. . 3 ⊢ (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = ((1._4_2_63) · (√‘𝑁))
246	30	recnd 10252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℂ)
247	51	recnd 10252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℂ)
248	35	recnd 10252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
249	246, 247, 248	adddird 10249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
250	245, 249	syl5eqr 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
251	208, 223, 250	3brtr4d 4828	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∀wral 3042   ∖ cdif 3704   ∪ cun 3705   ∩ cin 3706   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050  {csn 4313   class class class wbr 4796  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  ℂcc 10118  ℝcr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125   < clt 10258   ≤ cle 10259   − cmin 10450   / cdiv 10868  ℕcn 11204  2c2 11254  3c3 11255  4c4 11256  5c5 11257  6c6 11258  7c7 11259  ℕ₀cn0 11476  ℤcz 11561  ;cdc 11677  ℝ⁺crp 12017  ...cfz 12511  ↑cexp 13046  √csqrt 14164  Σcsu 14607  ℙcprime 15579  logclog 24492  θccht 25008  Λcvma 25009  ψcchp 25010  _cdp2 29878  .cdp 29896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200  ax-ros336 31025

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-tan 14993  df-pi 14994  df-dvds 15175  df-gcd 15411  df-prm 15580  df-pc 15736  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-cmp 21384  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-ulm 24322  df-log 24494  df-atan 24785  df-cht 25014  df-vma 25015  df-chp 25016  df-dp2 29879  df-dp 29897

This theorem is referenced by:  hgt750leme  31037