Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lem 31038
Description: Lemma for tgoldbachgtd 31049. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
hgt750lem ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))

Proof of Theorem hgt750lem
StepHypRef Expression
1 7nn0 11506 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2 3re 11286 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3 4re 11289 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
4 8re 11297 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
53, 4pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
6 dp2cl 29896 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → 48 ∈ ℝ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 48 ∈ ℝ
82, 7pm3.2i 470 . . . . . 6 (3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ)
9 dp2cl 29896 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ) → 348 ∈ ℝ)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 348 ∈ ℝ
11 dpcl 29907 . . . . 5 ((7 ∈ ℕ0348 ∈ ℝ) → (7.348) ∈ ℝ)
121, 10, 11mp2an 710 . . . 4 (7.348) ∈ ℝ
1312a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (7.348) ∈ ℝ)
14 nn0re 11493 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1514adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 0re 10232 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
18 10re 11709 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
19 2nn0 11501 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2019, 1deccl 11704 . . . . . . . . 9 27 ∈ ℕ0
21 reexpcl 13071 . . . . . . . . 9 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0) → (10↑27) ∈ ℝ)
2218, 20, 21mp2an 710 . . . . . . . 8 (10↑27) ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ∈ ℝ)
24 0lt1 10742 . . . . . . . . 9 0 < 1
25 1nn 11223 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
26 0nn0 11499 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
27 1nn0 11500 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
28 1re 10231 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
29 9re 11299 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
30 1lt9 11421 . . . . . . . . . . . 12 1 < 9
3128, 29, 30ltleii 10352 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 9
3225, 26, 27, 31declei 11734 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 10
33 expge1 13091 . . . . . . . . . 10 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 10) → 1 ≤ (10↑27))
3418, 20, 32, 33mp3an 1573 . . . . . . . . 9 1 ≤ (10↑27)
3516, 28, 22ltletri 10357 . . . . . . . . 9 ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (10↑27)) → 0 < (10↑27))
3624, 34, 35mp2an 710 . . . . . . . 8 0 < (10↑27)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < (10↑27))
38 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ≤ 𝑁)
3917, 23, 15, 37, 38ltletrd 10389 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
4015, 39elrpd 12062 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 24568 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4240rpge0d 12069 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
4315, 42resqrtcld 14355 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
4440sqrtgt0d 14350 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < (√‘𝑁))
4517, 44gtned 10364 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (√‘𝑁) ≠ 0)
4641, 43, 45redivcld 11045 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
4713, 46remulcld 10262 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ∈ ℝ)
48 elrp 12027 . . . . . . 7 ((10↑27) ∈ ℝ+ ↔ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑27)))
4922, 36, 48mpbir2an 993 . . . . . 6 (10↑27) ∈ ℝ+
50 relogcl 24521 . . . . . 6 ((10↑27) ∈ ℝ+ → (log‘(10↑27)) ∈ ℝ)
5149, 50ax-mp 5 . . . . 5 (log‘(10↑27)) ∈ ℝ
5222, 36sqrtpclii 14321 . . . . 5 (√‘(10↑27)) ∈ ℝ
5322, 36sqrtgt0ii 14322 . . . . . 6 0 < (√‘(10↑27))
5416, 53gtneii 10341 . . . . 5 (√‘(10↑27)) ≠ 0
5551, 52, 54redivcli 10984 . . . 4 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ
5655a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ)
5713, 56remulcld 10262 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ)
58 qssre 11991 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
59 4nn0 11503 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
60 nn0ssq 11989 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℚ
61 8nn0 11507 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
6260, 61sselii 3741 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℚ
6359, 62dp2clq 29897 . . . . . . . . . . 11 48 ∈ ℚ
6419, 63dp2clq 29897 . . . . . . . . . 10 248 ∈ ℚ
6519, 64dp2clq 29897 . . . . . . . . 9 2248 ∈ ℚ
6659, 65dp2clq 29897 . . . . . . . 8 42248 ∈ ℚ
6726, 66dp2clq 29897 . . . . . . 7 042248 ∈ ℚ
6826, 67dp2clq 29897 . . . . . 6 0042248 ∈ ℚ
6926, 68dp2clq 29897 . . . . 5 00042248 ∈ ℚ
7058, 69sselii 3741 . . . 4 00042248 ∈ ℝ
71 dpcl 29907 . . . 4 ((0 ∈ ℕ000042248 ∈ ℝ) → (0.00042248) ∈ ℝ)
7226, 70, 71mp2an 710 . . 3 (0.00042248) ∈ ℝ
7372a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (0.00042248) ∈ ℝ)
74 3nn0 11502 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
75 8pos 11313 . . . . . . . . . . 11 0 < 8
76 elrp 12027 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ ℝ+ ↔ (8 ∈ ℝ ∧ 0 < 8))
774, 75, 76mpbir2an 993 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ+
7859, 77rpdp2cl 29898 . . . . . . . . 9 48 ∈ ℝ+
7974, 78rpdp2cl 29898 . . . . . . . 8 348 ∈ ℝ+
801, 79rpdpcl 29920 . . . . . . 7 (7.348) ∈ ℝ+
81 elrp 12027 . . . . . . 7 ((7.348) ∈ ℝ+ ↔ ((7.348) ∈ ℝ ∧ 0 < (7.348)))
8280, 81mpbi 220 . . . . . 6 ((7.348) ∈ ℝ ∧ 0 < (7.348))
8382simpri 481 . . . . 5 0 < (7.348)
8416, 12, 83ltleii 10352 . . . 4 0 ≤ (7.348)
8584a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ≤ (7.348))
8649a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ∈ ℝ+)
87 2cn 11283 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
8887mulid2i 10235 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
89 2nn 11377 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
9089, 1, 27, 31declei 11734 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 27
91 2pos 11304 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
9220nn0rei 11495 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℝ
93 2re 11282 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
9428, 92, 93lemul1i 11138 . . . . . . . . . . 11 (0 < 2 → (1 ≤ 27 ↔ (1 · 2) ≤ (27 · 2)))
9591, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 ≤ 27 ↔ (1 · 2) ≤ (27 · 2))
9690, 95mpbi 220 . . . . . . . . 9 (1 · 2) ≤ (27 · 2)
9788, 96eqbrtrri 4827 . . . . . . . 8 2 ≤ (27 · 2)
98 1p1e2 11326 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
99 loge 24532 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) = 1
100 egt2lt3 15133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 < e ∧ e < 3)
101100simpri 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 e < 3
102 epr 15135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℝ+
103 3rp 12031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
104 logltb 24545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((e ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (e < 3 ↔ (log‘e) < (log‘3)))
105102, 103, 104mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (e < 3 ↔ (log‘e) < (log‘3))
106101, 105mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) < (log‘3)
10799, 106eqbrtrri 4827 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (log‘3)
108 relogcl 24521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
109103, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘3) ∈ ℝ
11028, 28, 109, 109lt2addi 10782 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 < (log‘3) ∧ 1 < (log‘3)) → (1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3)))
111107, 107, 110mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3))
112 3cn 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
113 3ne0 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≠ 0
114 logmul2 24561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℝ+) → (log‘(3 · 3)) = ((log‘3) + (log‘3)))
115112, 113, 103, 114mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(3 · 3)) = ((log‘3) + (log‘3))
116 3t3e9 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 3) = 9
117116fveq2i 6355 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘(3 · 3)) = (log‘9)
118 9lt10 11865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 < 10
11929, 18, 118ltleii 10352 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ≤ 10
120 9pos 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 9
121 elrp 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 ∈ ℝ+ ↔ (9 ∈ ℝ ∧ 0 < 9))
12229, 120, 121mpbir2an 993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ ℝ+
123 10pos 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 10
124 elrp 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
12518, 123, 124mpbir2an 993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ∈ ℝ+
126 logleb 24548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((9 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (9 ≤ 10 ↔ (log‘9) ≤ (log‘10)))
127122, 125, 126mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (9 ≤ 10 ↔ (log‘9) ≤ (log‘10))
128119, 127mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘9) ≤ (log‘10)
129117, 128eqbrtri 4825 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(3 · 3)) ≤ (log‘10)
130115, 129eqbrtrri 4827 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘3) + (log‘3)) ≤ (log‘10)
13128, 28readdcli 10245 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) ∈ ℝ
132109, 109readdcli 10245 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘3) + (log‘3)) ∈ ℝ
133 relogcl 24521 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ+ → (log‘10) ∈ ℝ)
134125, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘10) ∈ ℝ
135131, 132, 134ltletri 10357 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3)) ∧ ((log‘3) + (log‘3)) ≤ (log‘10)) → (1 + 1) < (log‘10))
136111, 130, 135mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) < (log‘10)
13798, 136eqbrtrri 4827 . . . . . . . . . 10 2 < (log‘10)
13893, 134ltlei 10351 . . . . . . . . . 10 (2 < (log‘10) → 2 ≤ (log‘10))
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ≤ (log‘10)
14016, 29, 120ltleii 10352 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
14189, 1, 26, 140decltdi 11739 . . . . . . . . . 10 0 < 27
14293, 134, 92lemul2i 11139 . . . . . . . . . 10 (0 < 27 → (2 ≤ (log‘10) ↔ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2 ≤ (log‘10) ↔ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10)))
144139, 143mpbi 220 . . . . . . . 8 (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))
14592, 93remulcli 10246 . . . . . . . . 9 (27 · 2) ∈ ℝ
14620nn0zi 11594 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℤ
147 relogexp 24541 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℝ+27 ∈ ℤ) → (log‘(10↑27)) = (27 · (log‘10)))
148125, 146, 147mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (log‘(10↑27)) = (27 · (log‘10))
149148, 51eqeltrri 2836 . . . . . . . . 9 (27 · (log‘10)) ∈ ℝ
15093, 145, 149letri 10358 . . . . . . . 8 ((2 ≤ (27 · 2) ∧ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))) → 2 ≤ (27 · (log‘10)))
15197, 144, 150mp2an 710 . . . . . . 7 2 ≤ (27 · (log‘10))
152 relogef 24528 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (log‘(exp‘2)) = 2)
15393, 152ax-mp 5 . . . . . . 7 (log‘(exp‘2)) = 2
154151, 153, 1483brtr4i 4834 . . . . . 6 (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27))
155 rpefcl 15033 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (exp‘2) ∈ ℝ+)
15693, 155ax-mp 5 . . . . . . 7 (exp‘2) ∈ ℝ+
157 logleb 24548 . . . . . . 7 (((exp‘2) ∈ ℝ+ ∧ (10↑27) ∈ ℝ+) → ((exp‘2) ≤ (10↑27) ↔ (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27))))
158156, 49, 157mp2an 710 . . . . . 6 ((exp‘2) ≤ (10↑27) ↔ (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27)))
159154, 158mpbir 221 . . . . 5 (exp‘2) ≤ (10↑27)
160159a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (exp‘2) ≤ (10↑27))
16186, 40, 160, 38logdivsqrle 31037 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ≤ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
16246, 56, 13, 85, 161lemul2ad 11156 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ≤ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))))
163 3lt10 11871 . . . . . . . 8 3 < 10
164 4lt10 11870 . . . . . . . . 9 4 < 10
165 8lt10 11866 . . . . . . . . 9 8 < 10
16659, 77, 164, 165dp2lt10 29900 . . . . . . . 8 48 < 10
16774, 78, 163, 166dp2lt10 29900 . . . . . . 7 348 < 10
168 7p1e8 11349 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
1691, 79, 61, 167, 168dplti 29922 . . . . . 6 (7.348) < 8
17058, 62sselii 3741 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
17112, 170, 18lttri 10355 . . . . . 6 (((7.348) < 8 ∧ 8 < 10) → (7.348) < 10)
172169, 165, 171mp2an 710 . . . . 5 (7.348) < 10
17327, 26deccl 11704 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℕ0
174173numexp0 15982 . . . . . . . . 9 (10↑0) = 1
175 0z 11580 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
17618, 175, 1463pm3.2i 1424 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
177 1lt10 11873 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
178177, 141pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (1 < 10 ∧ 0 < 27)
179 ltexp2a 13106 . . . . . . . . . 10 (((10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 0 < 27)) → (10↑0) < (10↑27))
180176, 178, 179mp2an 710 . . . . . . . . 9 (10↑0) < (10↑27)
181174, 180eqbrtrri 4827 . . . . . . . 8 1 < (10↑27)
182 loggt0b 24577 . . . . . . . . 9 ((10↑27) ∈ ℝ+ → (0 < (log‘(10↑27)) ↔ 1 < (10↑27)))
18349, 182ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (log‘(10↑27)) ↔ 1 < (10↑27))
184181, 183mpbir 221 . . . . . . 7 0 < (log‘(10↑27))
18551, 52divgt0i 11124 . . . . . . 7 ((0 < (log‘(10↑27)) ∧ 0 < (√‘(10↑27))) → 0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
186184, 53, 185mp2an 710 . . . . . 6 0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))
18712, 18, 55ltmul1i 11134 . . . . . 6 (0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) → ((7.348) < 10 ↔ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))))
188186, 187ax-mp 5 . . . . 5 ((7.348) < 10 ↔ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))))
189172, 188mpbi 220 . . . 4 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
19018recni 10244 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℂ
191 expmul 13099 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2))
192190, 1, 19, 191mp3an 1573 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2)
193 7t2e14 11840 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 2) = 14
194193oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = (10↑14)
195192, 194eqtr3i 2784 . . . . . . . . . . 11 ((10↑7)↑2) = (10↑14)
196195fveq2i 6355 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (√‘(10↑14))
197 reexpcl 13071 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (10↑7) ∈ ℝ)
19818, 1, 197mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (10↑7) ∈ ℝ
1991nn0zi 11594 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℤ
200 expgt0 13087 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑7))
20118, 199, 123, 200mp3an 1573 . . . . . . . . . . . 12 0 < (10↑7)
20216, 198, 201ltleii 10352 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑7)
203 sqrtsq 14209 . . . . . . . . . . 11 (((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑7)) → (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7))
204198, 202, 203mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7)
205196, 204eqtr3i 2784 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) = (10↑7)
20627, 59deccl 11704 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℕ0
207206nn0zi 11594 . . . . . . . . . . . 12 14 ∈ ℤ
20818, 207, 1463pm3.2i 1424 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
209 1lt2 11386 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
21027, 19, 59, 1, 164, 209decltc 11724 . . . . . . . . . . . 12 14 < 27
211177, 210pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (1 < 10 ∧ 14 < 27)
212 ltexp2a 13106 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 14 < 27)) → (10↑14) < (10↑27))
213208, 211, 212mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (10↑14) < (10↑27)
214 reexpcl 13071 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℕ0) → (10↑14) ∈ ℝ)
21518, 206, 214mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (10↑14) ∈ ℝ
216 expgt0 13087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑14))
21718, 207, 123, 216mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑14)
21816, 215, 217ltleii 10352 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑14)
219215, 218pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14))
22016, 22, 36ltleii 10352 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑27)
22122, 220pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))
222 sqrtlt 14201 . . . . . . . . . . 11 ((((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14)) ∧ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))) → ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))))
223219, 221, 222mp2an 710 . . . . . . . . . 10 ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27)))
224213, 223mpbi 220 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))
225205, 224eqbrtrri 4827 . . . . . . . 8 (10↑7) < (√‘(10↑27))
226198, 201pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7))
22752, 53pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((√‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(10↑27)))
22851, 184pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((log‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘(10↑27)))
229 ltdiv2 11101 . . . . . . . . 9 ((((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7)) ∧ ((√‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(10↑27))) ∧ ((log‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘(10↑27)))) → ((10↑7) < (√‘(10↑27)) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7))))
230226, 227, 228, 229mp3an 1573 . . . . . . . 8 ((10↑7) < (√‘(10↑27)) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7)))
231225, 230mpbi 220 . . . . . . 7 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7))
232 6nn 11381 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
233232nngt0i 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 6
23427, 26, 232, 233declt 11722 . . . . . . . . . . . . 13 10 < 16
235 6nn0 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
23627, 235deccl 11704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 ∈ ℕ0
237236nn0rei 11495 . . . . . . . . . . . . . . 15 16 ∈ ℝ
23825, 235, 26, 123declti 11738 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 16
239 elrp 12027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (16 ∈ ℝ+ ↔ (16 ∈ ℝ ∧ 0 < 16))
240237, 238, 239mpbir2an 993 . . . . . . . . . . . . . 14 16 ∈ ℝ+
241 logltb 24545 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ+16 ∈ ℝ+) → (10 < 16 ↔ (log‘10) < (log‘16)))
242125, 240, 241mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (10 < 16 ↔ (log‘10) < (log‘16))
243234, 242mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (log‘10) < (log‘16)
244 2exp4 15996 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑4) = 16
245244fveq2i 6355 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(2↑4)) = (log‘16)
246 2rp 12030 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
24759nn0zi 11594 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
248 relogexp 24541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (log‘(2↑4)) = (4 · (log‘2)))
249246, 247, 248mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(2↑4)) = (4 · (log‘2))
250245, 249eqtr3i 2784 . . . . . . . . . . . 12 (log‘16) = (4 · (log‘2))
251243, 250breqtri 4829 . . . . . . . . . . 11 (log‘10) < (4 · (log‘2))
252100simpli 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < e
253 logltb 24545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) → (2 < e ↔ (log‘2) < (log‘e)))
254246, 102, 253mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 < e ↔ (log‘2) < (log‘e))
255252, 254mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘2) < (log‘e)
256255, 99breqtri 4829 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) < 1
257 4pos 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 4
258 relogcl 24521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
259246, 258ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (log‘2) ∈ ℝ
260259, 28, 3ltmul2i 11137 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 4 → ((log‘2) < 1 ↔ (4 · (log‘2)) < (4 · 1)))
261257, 260ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘2) < 1 ↔ (4 · (log‘2)) < (4 · 1))
262256, 261mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (log‘2)) < (4 · 1)
263 4cn 11290 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
264263mulid1i 10234 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 1) = 4
265262, 264breqtri 4829 . . . . . . . . . . 11 (4 · (log‘2)) < 4
2663, 259remulcli 10246 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (log‘2)) ∈ ℝ
267134, 266, 3lttri 10355 . . . . . . . . . . 11 (((log‘10) < (4 · (log‘2)) ∧ (4 · (log‘2)) < 4) → (log‘10) < 4)
268251, 265, 267mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (log‘10) < 4
269134, 3, 92ltmul2i 11137 . . . . . . . . . . 11 (0 < 27 → ((log‘10) < 4 ↔ (27 · (log‘10)) < (27 · 4)))
270141, 269ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((log‘10) < 4 ↔ (27 · (log‘10)) < (27 · 4))
271268, 270mpbi 220 . . . . . . . . 9 (27 · (log‘10)) < (27 · 4)
272148, 271eqbrtri 4825 . . . . . . . 8 (log‘(10↑27)) < (27 · 4)
27392, 3remulcli 10246 . . . . . . . . . 10 (27 · 4) ∈ ℝ
27451, 273, 198ltdiv1i 11135 . . . . . . . . 9 (0 < (10↑7) → ((log‘(10↑27)) < (27 · 4) ↔ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))))
275201, 274ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((log‘(10↑27)) < (27 · 4) ↔ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7)))
276272, 275mpbi 220 . . . . . . 7 ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))
27716, 201gtneii 10341 . . . . . . . . 9 (10↑7) ≠ 0
27851, 198, 277redivcli 10984 . . . . . . . 8 ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) ∈ ℝ
279273, 198, 277redivcli 10984 . . . . . . . 8 ((27 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
28055, 278, 279lttri 10355 . . . . . . 7 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) ∧ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7)))
281231, 276, 280mp2an 710 . . . . . 6 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7))
282 7lt10 11867 . . . . . . . . . 10 7 < 10
283 2lt10 11872 . . . . . . . . . 10 2 < 10
28419, 173, 1, 26, 282, 283decltc 11724 . . . . . . . . 9 27 < 100
285 10nn 11706 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℕ
286285decnncl2 11717 . . . . . . . . . . . 12 100 ∈ ℕ
287286nnrei 11221 . . . . . . . . . . 11 100 ∈ ℝ
28892, 287, 3ltmul1i 11134 . . . . . . . . . 10 (0 < 4 → (27 < 100 ↔ (27 · 4) < (100 · 4)))
289257, 288ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (27 < 100 ↔ (27 · 4) < (100 · 4))
290284, 289mpbi 220 . . . . . . . 8 (27 · 4) < (100 · 4)
291287, 3remulcli 10246 . . . . . . . . . 10 (100 · 4) ∈ ℝ
292273, 291, 198ltdiv1i 11135 . . . . . . . . 9 (0 < (10↑7) → ((27 · 4) < (100 · 4) ↔ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7))))
293201, 292ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((27 · 4) < (100 · 4) ↔ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7)))
294290, 293mpbi 220 . . . . . . 7 ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7))
295 8nn 11383 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
296 nnrp 12035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
297295, 296ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℝ+
29859, 297rpdp2cl 29898 . . . . . . . . . . . . 13 48 ∈ ℝ+
29919, 298rpdp2cl 29898 . . . . . . . . . . . 12 248 ∈ ℝ+
30019, 299rpdp2cl 29898 . . . . . . . . . . 11 2248 ∈ ℝ+
30159, 300dpgti 29923 . . . . . . . . . 10 4 < (4.2248)
30272recni 10244 . . . . . . . . . . . . 13 (0.00042248) ∈ ℂ
303198recni 10244 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑7) ∈ ℂ
304302, 303mulcli 10237 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · (10↑7)) ∈ ℂ
30516, 123gtneii 10341 . . . . . . . . . . . . 13 10 ≠ 0
306190, 305pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
307287recni 10244 . . . . . . . . . . . . 13 100 ∈ ℂ
308286nnne0i 11247 . . . . . . . . . . . . 13 100 ≠ 0
309307, 308pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
310 divdiv1 10928 . . . . . . . . . . . 12 ((((0.00042248) · (10↑7)) ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)))
311304, 306, 309, 310mp3an 1573 . . . . . . . . . . 11 ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100))
312302, 303, 190, 305div23i 10975 . . . . . . . . . . . 12 (((0.00042248) · (10↑7)) / 10) = (((0.00042248) / 10) · (10↑7))
313312oveq1i 6823 . . . . . . . . . . 11 ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)
314190, 307mulcli 10237 . . . . . . . . . . . . 13 (10 · 100) ∈ ℂ
315190, 307, 305, 308mulne0i 10862 . . . . . . . . . . . . 13 (10 · 100) ≠ 0
316302, 303, 314, 315divassi 10973 . . . . . . . . . . . 12 (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)) = ((0.00042248) · ((10↑7) / (10 · 100)))
317 expp1 13061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((10 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(2 + 1)) = ((10↑2) · 10))
318190, 19, 317mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (10↑(2 + 1)) = ((10↑2) · 10)
319 sq10 13242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (10↑2) = 100
320319oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((10↑2) · 10) = (100 · 10)
321307, 190mulcomi 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (100 · 10) = (10 · 100)
322318, 320, 3213eqtrri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (10 · 100) = (10↑(2 + 1))
323 2p1e3 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + 1) = 3
324323oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (10↑(2 + 1)) = (10↑3)
325322, 324eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (10 · 100) = (10↑3)
326325oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10↑7) / (10 · 100)) = ((10↑7) / (10↑3))
32774nn0zi 11594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
328199, 327pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
329 expsub 13102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) ∧ (7 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)) → (10↑(7 − 3)) = ((10↑7) / (10↑3)))
330306, 328, 329mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑(7 − 3)) = ((10↑7) / (10↑3))
331 7cn 11296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 ∈ ℂ
332 4p3e7 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 + 3) = 7
333263, 112, 332addcomli 10420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 4) = 7
334331, 112, 263, 333subaddrii 10562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 − 3) = 4
335334oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑(7 − 3)) = (10↑4)
336326, 330, 3353eqtr2i 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((10↑7) / (10 · 100)) = (10↑4)
337336oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · ((10↑7) / (10 · 100))) = ((0.00042248) · (10↑4))
338173numexp1 15983 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) = 10
339338oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.42248) · 10)
34059, 300rpdp2cl 29898 . . . . . . . . . . . . . . 15 42248 ∈ ℝ+
34125nnzi 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
34289nnzi 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
34326, 340, 98, 341, 342dpexpp1 29925 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.042248) · (10↑2))
34426, 340rpdp2cl 29898 . . . . . . . . . . . . . . 15 042248 ∈ ℝ+
34526, 344, 323, 342, 327dpexpp1 29925 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.042248) · (10↑2)) = ((0.0042248) · (10↑3))
34626, 344rpdp2cl 29898 . . . . . . . . . . . . . . 15 0042248 ∈ ℝ+
347 3p1e4 11345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
34826, 346, 347, 327, 247dpexpp1 29925 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.0042248) · (10↑3)) = ((0.00042248) · (10↑4))
349343, 345, 3483eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.00042248) · (10↑4))
35059, 3000dp2dp 29926 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · 10) = (4.2248)
351339, 349, 3503eqtr3i 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · (10↑4)) = (4.2248)
352316, 337, 3513eqtri 2786 . . . . . . . . . . 11 (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)) = (4.2248)
353311, 313, 3523eqtr3i 2790 . . . . . . . . . 10 ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100) = (4.2248)
354301, 353breqtrri 4831 . . . . . . . . 9 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)
35572, 18, 305redivcli 10984 . . . . . . . . . . 11 ((0.00042248) / 10) ∈ ℝ
356355, 198remulcli 10246 . . . . . . . . . 10 (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ∈ ℝ
357286nngt0i 11246 . . . . . . . . . . 11 0 < 100
358287, 357pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (100 ∈ ℝ ∧ 0 < 100)
359 ltmuldiv2 11089 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ∈ ℝ ∧ (100 ∈ ℝ ∧ 0 < 100)) → ((100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ↔ 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)))
3603, 356, 358, 359mp3an 1573 . . . . . . . . 9 ((100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ↔ 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100))
361354, 360mpbir 221 . . . . . . . 8 (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7))
362 ltdivmul2 11092 . . . . . . . . 9 (((100 · 4) ∈ ℝ ∧ ((0.00042248) / 10) ∈ ℝ ∧ ((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7))) → (((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10) ↔ (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7))))
363291, 355, 226, 362mp3an 1573 . . . . . . . 8 (((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10) ↔ (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)))
364361, 363mpbir 221 . . . . . . 7 ((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)
365291, 198, 277redivcli 10984 . . . . . . . 8 ((100 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
366279, 365, 355lttri 10355 . . . . . . 7 ((((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7)) ∧ ((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)) → ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10))
367294, 364, 366mp2an 710 . . . . . 6 ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)
368226simpli 476 . . . . . . . 8 (10↑7) ∈ ℝ
369273, 368, 277redivcli 10984 . . . . . . 7 ((27 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
37055, 369, 355lttri 10355 . . . . . 6 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7)) ∧ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10))
371281, 367, 370mp2an 710 . . . . 5 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10)
372125, 124mpbi 220 . . . . . 6 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
373 ltmuldiv2 11089 . . . . . 6 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ ∧ (0.00042248) ∈ ℝ ∧ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)) → ((10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10)))
37455, 72, 372, 373mp3an 1573 . . . . 5 ((10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10))
375371, 374mpbir 221 . . . 4 (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)
37612, 55remulcli 10246 . . . . 5 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ
37718, 55remulcli 10246 . . . . 5 (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ
378376, 377, 72lttri 10355 . . . 4 ((((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∧ (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248))
379189, 375, 378mp2an 710 . . 3 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)
380379a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248))
38147, 57, 73, 162, 380lelttrd 10387 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  6c6 11266  7c7 11267  8c8 11268  9c9 11269  0cn0 11484  cz 11569  cdc 11685  cq 11981  +crp 12025  cexp 13054  csqrt 14172  expce 14991  eceu 14992  logclog 24500  cdp2 29886  .cdp 29904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-e 14998  df-sin 14999  df-cos 15000  df-tan 15001  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-itg 23591  df-0p 23636  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-dp2 29887  df-dp 29905
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  31047
  Copyright terms: Public domain W3C validator