Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmapval1 37679
 Description: Value of the scalar sigma map at one. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapval1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapval1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapval1.i 1 = (1r𝑅)
hgmapval1.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hgmapval1 (𝜑 → (𝐺1 ) = 1 )

Proof of Theorem hgmapval1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmapval1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hgmapval1.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2752 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4 eqid 2752 . . 3 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hgmapval1.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 37225 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g𝑈))
7 hgmapval1.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
8 hgmapval1.i . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
9 eqid 2752 . . . . . . . . 9 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
11 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
121, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 5lcd1 37392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = 1 )
1312oveq1d 6820 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = ( 1 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
14133ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → ((1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = ( 1 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
151, 9, 5lcdlmod 37375 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
16153ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
17 eqid 2752 . . . . . . . 8 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
18 eqid 2752 . . . . . . . 8 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
1953ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
211, 2, 3, 9, 17, 18, 19, 20hdmapcl 37616 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
22 eqid 2752 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
2317, 10, 22, 11lmodvs1 19085 . . . . . . 7 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
2416, 21, 23syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → ((1r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
2514, 24eqtr3d 2788 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
261, 2, 5dvhlmod 36893 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
27263ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
28 eqid 2752 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
293, 7, 28, 8lmodvs1 19085 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 1 ( ·𝑠𝑈)𝑥) = 𝑥)
3027, 20, 29syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → ( 1 ( ·𝑠𝑈)𝑥) = 𝑥)
3130fveq2d 6348 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 1 ( ·𝑠𝑈)𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
32 eqid 2752 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33 hgmapval1.g . . . . . 6 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
347lmodring 19065 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
3532, 8ringidcl 18760 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
3626, 34, 353syl 18 . . . . . . 7 (𝜑1 ∈ (Base‘𝑅))
37363ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
381, 2, 3, 28, 7, 32, 9, 22, 18, 33, 19, 20, 37hgmapvs 37677 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 1 ( ·𝑠𝑈)𝑥)) = ((𝐺1 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
3925, 31, 383eqtr2rd 2793 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺1 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = ( 1 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
40 eqid 2752 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
41 eqid 2752 . . . . 5 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
421, 9, 5lcdlvec 37374 . . . . . 6 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
43423ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
441, 2, 7, 32, 33, 5, 36hgmapcl 37675 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺1 ) ∈ (Base‘𝑅))
451, 2, 7, 32, 9, 10, 40, 5lcdsbase 37383 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘𝑅))
4644, 45eleqtrrd 2834 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺1 ) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
47463ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺1 ) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
4836, 45eleqtrrd 2834 . . . . . 6 (𝜑1 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
49483ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
50 simp3 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → 𝑥 ≠ (0g𝑈))
511, 2, 3, 4, 9, 41, 18, 19, 20hdmapeq0 37630 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 = (0g𝑈)))
5251necon3bid 2968 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 ≠ (0g𝑈)))
5350, 52mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
5417, 22, 10, 40, 41, 43, 47, 49, 21, 53lvecvscan2 19306 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺1 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = ( 1 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) ↔ (𝐺1 ) = 1 ))
5539, 54mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺1 ) = 1 )
5655rexlimdv3a 3163 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g𝑈) → (𝐺1 ) = 1 ))
576, 56mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺1 ) = 1 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∃wrex 3043  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  Scalarcsca 16138   ·𝑠 cvsca 16139  0gc0g 16294  1rcur 18693  Ringcrg 18739  LModclmod 19057  LVecclvec 19296  HLchlt 35132  LHypclh 35765  DVecHcdvh 36861  LCDualclcd 37369  HDMapchdma 37576  HGMapchg 37669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-riotaBAD 34734 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-ot 4322  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-tpos 7513  df-undef 7560  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-0g 16296  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-preset 17121  df-poset 17139  df-plt 17151  df-lub 17167  df-glb 17168  df-join 17169  df-meet 17170  df-p0 17232  df-p1 17233  df-lat 17239  df-clat 17301  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-subg 17784  df-cntz 17942  df-oppg 17968  df-lsm 18243  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-dvr 18875  df-drng 18943  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-lvec 19297  df-lsatoms 34758  df-lshyp 34759  df-lcv 34801  df-lfl 34840  df-lkr 34868  df-ldual 34906  df-oposet 34958  df-ol 34960  df-oml 34961  df-covers 35048  df-ats 35049  df-atl 35080  df-cvlat 35104  df-hlat 35133  df-llines 35279  df-lplanes 35280  df-lvols 35281  df-lines 35282  df-psubsp 35284  df-pmap 35285  df-padd 35577  df-lhyp 35769  df-laut 35770  df-ldil 35885  df-ltrn 35886  df-trl 35941  df-tgrp 36525  df-tendo 36537  df-edring 36539  df-dveca 36785  df-disoa 36812  df-dvech 36862  df-dib 36922  df-dic 36956  df-dih 37012  df-doch 37131  df-djh 37178  df-lcdual 37370  df-mapd 37408  df-hvmap 37540  df-hdmap1 37577  df-hdmap 37578  df-hgmap 37670 This theorem is referenced by:  hdmapglem5  37708
 Copyright terms: Public domain W3C validator