Theorem hgmaprnN 37713

Description: Part of proof of part 16 in [Baer] p. 50 line 23, Fs=G, except that we use the original vector space scalars for the range. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmaprn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmaprn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprn.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmaprn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmaprn.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hgmaprnN	⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = 𝐵)

Proof of Theorem hgmaprnN

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmaprn.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmaprn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hgmaprn.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4		hgmaprn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		hgmaprn.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hgmaprn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	hgmapfnN 37700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
11	6	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 5, 11, 12	hgmapdcl 37702	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
14	13	ralrimiva 3104	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
15		fnfvrnss 6554	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ran 𝐺 ⊆ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
16	7, 14, 15	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
22		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
24	6	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
26	1, 2, 17, 3, 4, 18, 19, 8, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 5, 24, 25	hgmaprnlem5N 37712	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
27	26	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑧 ∈ ran 𝐺))
28	27	ssrdv 3750	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ⊆ ran 𝐺)
29	16, 28	eqssd 3761	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
30	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 6	lcdsbase 37409	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = 𝐵)
31	29, 30	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715  ran crn 5267   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166   ·_𝑠 cvsca 16167  0_gc0g 16322  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  LCDualclcd 37395  HDMapchdma 37602  HGMapchg 37695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lshyp 34785  df-lcv 34827  df-lfl 34866  df-lkr 34894  df-ldual 34932  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204  df-lcdual 37396  df-mapd 37434  df-hvmap 37566  df-hdmap1 37603  df-hdmap 37604  df-hgmap 37696

This theorem is referenced by:  hgmapf1oN  37715