Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfninf 32630
Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf ¬ ω ∈ Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 elirr 8658 . . 3 ¬ ω ∈ ω
2 elhf2g 32620 . . . 4 (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3 ordom 7221 . . . . . . 7 Ord ω
4 elong 5874 . . . . . . 7 (ω ∈ Hf → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
53, 4mpbiri 248 . . . . . 6 (ω ∈ Hf → ω ∈ On)
6 r111 8802 . . . . . . . . 9 𝑅1:On–1-1→V
7 f1dm 6245 . . . . . . . . 9 (𝑅1:On–1-1→V → dom 𝑅1 = On)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom 𝑅1 = On
98eleq2i 2842 . . . . . . 7 (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
10 rankonid 8856 . . . . . . 7 (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
119, 10bitr3i 266 . . . . . 6 (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
125, 11sylib 208 . . . . 5 (ω ∈ Hf → (rank‘ω) = ω)
1312eleq1d 2835 . . . 4 (ω ∈ Hf → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
142, 13bitrd 268 . . 3 (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ ω ∈ ω))
151, 14mtbiri 316 . 2 (ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf )
16 pm2.01 180 . 2 ((ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf ) → ¬ ω ∈ Hf )
1715, 16ax-mp 5 1 ¬ ω ∈ Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  dom cdm 5249  Ord word 5865  Oncon0 5866  1-1wf1 6028  cfv 6031  ωcom 7212  𝑅1cr1 8789  rankcrnk 8790   Hf chf 32616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-reg 8653  ax-inf2 8702
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-r1 8791  df-rank 8792  df-hf 32617
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator