Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem9 33748
 Description: Lemma for heibor 33750. Discharge the hypotheses of heiborlem8 33747 by applying caubl 23152 to get a convergent point and adding the open cover assumption. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
heibor.13 (𝜑𝑈𝐽)
heiborlem9.14 (𝜑 𝑈 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
heiborlem9 (𝜑𝜓)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem9
Dummy variables 𝑡 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 cmetmet 23130 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 metxmet 22186 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 heibor.1 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
65mopntopon 22291 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
74, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 heibor.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
9 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10 heibor.5 . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11 heibor.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
12 heibor.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13 heibor.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14 heibor.10 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐺0)
15 heibor.11 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
16 heibor.12 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
175, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16heiborlem5 33744 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
185, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16heiborlem6 33745 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
195, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16heiborlem7 33746 . . . . . . . . 9 𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟)
214, 17, 18, 20caubl 23152 . . . . . . 7 (𝜑 → (1st𝑀) ∈ (Cau‘𝐷))
225cmetcau 23133 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (1st𝑀) ∈ (Cau‘𝐷)) → (1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
231, 21, 22syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
245methaus 22372 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
26 lmfun 21233 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
27 funfvbrb 6370 . . . . . . 7 (Fun (⇝𝑡𝐽) → ((1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀))))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀))))
2923, 28mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)))
30 lmcl 21149 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀))) → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑋)
317, 29, 30syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑋)
32 heiborlem9.14 . . . 4 (𝜑 𝑈 = 𝑋)
3331, 32eleqtrrd 2733 . . 3 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑈)
34 eluni2 4472 . . 3 (((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑡𝑈 ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)
3533, 34sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑈 ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)
361adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3711adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3812adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
3913adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
4014adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐶𝐺0)
41 heibor.13 . . . 4 (𝜑𝑈𝐽)
4241adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑈𝐽)
43 fvex 6239 . . 3 ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ V
44 simprr 811 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)
45 simprl 809 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑡𝑈)
4629adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)))
475, 8, 9, 10, 36, 37, 38, 39, 40, 15, 16, 42, 43, 44, 45, 46heiborlem8 33747 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝜓)
4835, 47rexlimddv 3064 1 (𝜑𝜓)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  ⟨cop 4216  ∪ cuni 4468  ∪ ciun 4552   class class class wbr 4685  {copab 4745   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   ∘ ccom 5147  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  3c3 11109  ℕ0cn0 11330  ℝ+crp 11870  seqcseq 12841  ↑cexp 12900  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  TopOnctopon 20763  ⇝𝑡clm 21078  Hauscha 21160  Caucca 23097  CMetcms 23098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lm 21081  df-haus 21167  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101 This theorem is referenced by:  heiborlem10  33749
 Copyright terms: Public domain W3C validator