Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem6 33928
Description: Lemma for heibor 33933. Since the sequence of balls connected by the function 𝑇 ensures that each ball nontrivially intersects with the next (since the empty set has a finite subcover, the intersection of any two successive balls in the sequence is nonempty), and each ball is half the size of the previous one, the distance between the centers is at most 3 / 2 times the size of the larger, and so if we expand each ball by a factor of 3 we get a nested sequence of balls. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑘,𝑢,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑚,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,𝑢,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑚,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑘,𝐽,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑘)   𝑇(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑈(𝑘,𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem6
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11491 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2 heibor.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3 cmetmet 23284 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5 metxmet 22340 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
76adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 heibor.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
9 inss1 3976 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋
10 fss 6217 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝐹:ℕ0⟶𝒫 𝑋)
118, 9, 10sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ0⟶𝒫 𝑋)
12 peano2nn0 11525 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
13 ffvelrn 6520 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ0⟶𝒫 𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝒫 𝑋)
1411, 12, 13syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝒫 𝑋)
1514elpwid 4314 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ⊆ 𝑋)
16 heibor.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17 heibor.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
18 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
19 heibor.5 . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
20 heibor.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
21 heibor.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
22 heibor.10 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐺0)
23 heibor.11 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
2416, 17, 18, 19, 2, 8, 20, 21, 22, 23heiborlem4 33926 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1))
2512, 24sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1))
26 fvex 6362 . . . . . . . . 9 (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ V
27 ovex 6841 . . . . . . . . 9 (𝑘 + 1) ∈ V
2816, 17, 18, 26, 27heiborlem2 33924 . . . . . . . 8 ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∧ ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐵(𝑘 + 1)) ∈ 𝐾))
2928simp2bi 1141 . . . . . . 7 ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3025, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3115, 30sseldd 3745 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
3211ffvelrnda 6522 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ 𝒫 𝑋)
3332elpwid 4314 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ⊆ 𝑋)
3416, 17, 18, 19, 2, 8, 20, 21, 22, 23heiborlem4 33926 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘)𝐺𝑘)
35 fvex 6362 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑘) ∈ V
36 vex 3343 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ V
3716, 17, 18, 35, 36heiborlem2 33924 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∈ 𝐾))
3837simp2bi 1141 . . . . . . 7 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3934, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
4033, 39sseldd 3745 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘) ∈ 𝑋)
41 3re 11286 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
42 2nn 11377 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
43 nnexpcl 13067 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4442, 12, 43sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4544nnrpd 12063 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
4645adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
47 rerpdivcl 12054 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
4841, 46, 47sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (3 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
49 nnexpcl 13067 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
5042, 49mpan 708 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
5150nnrpd 12063 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
5251adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
53 rerpdivcl 12054 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
5441, 52, 53sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (3 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
55 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑆𝑘) → (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
56 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (2↑𝑚) = (2↑𝑘))
5756oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑚)) = (1 / (2↑𝑘)))
5857oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))))
59 ovex 6841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∈ V
6055, 58, 19, 59ovmpt2 6961 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑘) ∈ 𝑋𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))))
6140, 60sylancom 704 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))))
62 df-br 4805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 ↔ ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺)
63 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝑇𝑥) = (𝑇‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩))
64 df-ov 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) = (𝑇‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩)
6563, 64syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝑇𝑥) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
6635, 36op2ndd 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (2nd𝑥) = 𝑘)
6766oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((2nd𝑥) + 1) = (𝑘 + 1))
6865, 67breq12d 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ↔ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1)))
69 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝐵𝑥) = (𝐵‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩))
70 df-ov 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) = (𝐵‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩)
7169, 70syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝐵𝑥) = ((𝑆𝑘)𝐵𝑘))
7265, 67oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)))
7371, 72ineq12d 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) = (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))))
7473eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾 ↔ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾))
7568, 74anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7675rspccv 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾) → (⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7721, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7862, 77syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7978adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
8034, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾))
8180simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1))
82 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ V
8316, 17, 18, 82, 27heiborlem2 33924 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)) ∈ 𝐾))
8483simp2bi 1141 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8581, 84syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8615, 85sseldd 3745 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋)
8712adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
88 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) → (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
89 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑘 + 1)))
9089oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (1 / (2↑𝑚)) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
9190oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
92 ovex 6841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ∈ V
9388, 91, 19, 92ovmpt2 6961 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
9486, 87, 93syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
9561, 94ineq12d 3958 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) = (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))))
9680simprd 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)
97 0elpw 4983 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 𝒫 𝑈
98 0fin 8353 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
99 elin 3939 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝑈 ∧ ∅ ∈ Fin))
10097, 98, 99mpbir2an 993 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)
101 0ss 4115 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ⊆
102 unieq 4596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ∅ → 𝑣 = ∅)
103102sseq2d 3774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = ∅ → (∅ ⊆ 𝑣 ↔ ∅ ⊆ ∅))
104103rspcev 3449 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣)
105100, 101, 104mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣
106 0ex 4942 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
107 sseq1 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ∅ → (𝑢 𝑣 ↔ ∅ ⊆ 𝑣))
108107rexbidv 3190 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = ∅ → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣))
109108notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = ∅ → (¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣))
110106, 109, 17elab2 3494 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ 𝐾 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣)
111110con2bii 346 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐾)
112105, 111mpbi 220 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ 𝐾
113 nelne2 3029 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐾) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ≠ ∅)
11496, 112, 113sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ≠ ∅)
11595, 114eqnetrrd 3000 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) ≠ ∅)
11651rpreccld 12075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
117116adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
118117rpred 12065 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
11945rpreccld 12075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
120119adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
121120rpred 12065 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
122 rexadd 12256 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → ((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
123118, 121, 122syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
124123breq1d 4814 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ↔ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘))))
125117rpxrd 12066 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ*)
126120rpxrd 12066 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
127 bldisj 22404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ* ∧ ((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅)
1281273exp2 1448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) → ((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ* → ((1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ* → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))))
129128imp32 448 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)) → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))
1307, 40, 86, 125, 126, 129syl32anc 1485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))
131124, 130sylbird 250 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))
132131necon3ad 2945 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) ≠ ∅ → ¬ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘))))
133115, 132mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
134117, 120rpaddcld 12080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ+)
135134rpred 12065 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
1364adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
137 metcl 22338 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ∈ ℝ)
138136, 40, 86, 137syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ∈ ℝ)
139135, 138letrid 10381 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ∨ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ≤ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1))))))
140139ord 391 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ≤ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1))))))
141133, 140mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ≤ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
142 seqp1 13010 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
143 nn0uz 11915 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
144142, 143eleq2s 2857 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
14523fveq1i 6353 . . . . . . . . . . 11 (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1))
14623fveq1i 6353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑘) = (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)
147146oveq1i 6823 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)))
148144, 145, 1473eqtr4g 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
149 nn0p1nn 11524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
150 nnne0 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ≠ 0)
151150neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ¬ (𝑘 + 1) = 0)
152149, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → ¬ (𝑘 + 1) = 0)
153152iffalsed 4241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑘 + 1) − 1))
154 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) − 1) ∈ V
155153, 154syl6eqel 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) ∈ V)
156 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑘 + 1) = 0))
157 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
158156, 157ifbieq2d 4255 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)) = if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)))
159 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))
160158, 159fvmptg 6442 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) ∈ V) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)))
16112, 155, 160syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)))
162 nn0cn 11494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
163 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
164 pncan 10479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
165162, 163, 164sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
166161, 153, 1653eqtrd 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)) = 𝑘)
167166oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
168148, 167eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
169168adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
170169oveq1d 6828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐷(𝑆𝑘)))
171 metsym 22356 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐷(𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
172136, 86, 40, 171syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐷(𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
173170, 172eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
174 3cn 11287 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
1751742timesi 11339 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = (3 + 3)
176175oveq1i 6823 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 3) − 3) = ((3 + 3) − 3)
177174, 174pncan3oi 10489 . . . . . . . . . . 11 ((3 + 3) − 3) = 3
178 df-3 11272 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
179176, 177, 1783eqtri 2786 . . . . . . . . . 10 ((2 · 3) − 3) = (2 + 1)
180179oveq1i 6823 . . . . . . . . 9 (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1)))
181 rpcn 12034 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
182 rpne0 12041 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0)
183 2cn 11283 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
184183, 174mulcli 10237 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) ∈ ℂ
185 divsubdir 10913 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0)) → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
186184, 174, 185mp3an12 1563 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0) → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
187181, 182, 186syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
18845, 187syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
189 divdir 10902 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0)) → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
190183, 163, 189mp3an12 1563 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
191181, 182, 190syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
19245, 191syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
193180, 188, 1923eqtr3a 2818 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
194 rpcn 12034 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
195 rpne0 12041 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ≠ 0)
196 2cnne0 11434 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
197 divcan5 10919 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
198174, 196, 197mp3an13 1564 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
199194, 195, 198syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
20051, 199syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
20151, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
202 mulcom 10214 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (2↑𝑘)) = ((2↑𝑘) · 2))
203183, 201, 202sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑘)) = ((2↑𝑘) · 2))
204 expp1 13061 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
205183, 204mpan 708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
206203, 205eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑘)) = (2↑(𝑘 + 1)))
207206oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = ((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))))
208200, 207eqtr3d 2796 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 / (2↑𝑘)) = ((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))))
209208oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
210 divcan5 10919 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
211163, 196, 210mp3an13 1564 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
212194, 195, 211syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
21351, 212syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
214 2t1e2 11368 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 1) = 2
215214a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 1) = 2)
216215, 206oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (2 / (2↑(𝑘 + 1))))
217213, 216eqtr3d 2796 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (2↑𝑘)) = (2 / (2↑(𝑘 + 1))))
218217oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
219193, 209, 2183eqtr4d 2804 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
220219adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
221141, 173, 2203brtr4d 4836 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) ≤ ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
222 blss2 22410 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((3 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (3 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) ≤ ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
2237, 31, 40, 48, 54, 221, 222syl33anc 1492 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
2241, 223sylan2 492 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
225 peano2nn 11224 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
226 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑆𝑛) = (𝑆‘(𝑘 + 1)))
227 oveq2 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑘 + 1)))
228227oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑(𝑘 + 1))))
229226, 228opeq12d 4561 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
230 heibor.12 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
231 opex 5081 . . . . . . . 8 ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩ ∈ V
232229, 230, 231fvmpt 6444 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑀‘(𝑘 + 1)) = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
233225, 232syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀‘(𝑘 + 1)) = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
234233adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝑘 + 1)) = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
235234fveq2d 6356 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩))
236 df-ov 6816 . . . 4 ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
237235, 236syl6eqr 2812 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
238 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑘))
239 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
240239oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑𝑘)))
241238, 240opeq12d 4561 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
242 opex 5081 . . . . . . 7 ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩ ∈ V
243241, 230, 242fvmpt 6444 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀𝑘) = ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
244243fveq2d 6356 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩))
245 df-ov 6816 . . . . 5 ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
246244, 245syl6eqr 2812 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
247246adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
248224, 237, 2473sstr4d 3789 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
249248ralrimiva 3104 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  {cab 2746  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302  cop 4327   cuni 4588   ciun 4672   class class class wbr 4804  {copab 4864  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  2nd c2nd 7332  Fincfn 8121  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  *cxr 10265  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  0cn0 11484  cuz 11879  +crp 12025   +𝑒 cxad 12137  seqcseq 12995  cexp 13054  ∞Metcxmt 19933  Metcme 19934  ballcbl 19935  MetOpencmopn 19938  CMetcms 23252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-seq 12996  df-exp 13055  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-cmet 23255
This theorem is referenced by:  heiborlem8  33930  heiborlem9  33931
  Copyright terms: Public domain W3C validator