Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem5 33744
Description: Lemma for heibor 33750. The function 𝑀 is a set of point-and-radius pairs suitable for application to caubl 23152. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem5 (𝜑𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem5
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11337 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2 inss1 3866 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋
3 heibor.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
43ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
52, 4sseldi 3634 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ 𝒫 𝑋)
65elpwid 4203 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ⊆ 𝑋)
7 heibor.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
8 heibor.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
9 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10 heibor.5 . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11 heibor.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
12 heibor.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13 heibor.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14 heibor.10 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐺0)
15 heibor.11 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
167, 8, 9, 10, 11, 3, 12, 13, 14, 15heiborlem4 33743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘)𝐺𝑘)
17 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑘) ∈ V
18 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ V
197, 8, 9, 17, 18heiborlem2 33741 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∈ 𝐾))
2019simp2bi 1097 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
2116, 20syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
226, 21sseldd 3637 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘) ∈ 𝑋)
231, 22sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ 𝑋)
2423ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋)
25 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑛))
2625eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝑆𝑛) ∈ 𝑋))
2726cbvralv 3201 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆𝑛) ∈ 𝑋)
2824, 27sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆𝑛) ∈ 𝑋)
29 3re 11132 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
30 3pos 11152 . . . . . . 7 0 < 3
3129, 30elrpii 11873 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
32 2nn 11223 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
33 nnnn0 11337 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
34 nnexpcl 12913 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
3532, 33, 34sylancr 696 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
3635nnrpd 11908 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
37 rpdivcl 11894 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
3831, 36, 37sylancr 696 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
39 opelxpi 5182 . . . . . 6 (((𝑆𝑛) ∈ 𝑋 ∧ (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+) → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
4039expcom 450 . . . . 5 ((3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+ → ((𝑆𝑛) ∈ 𝑋 → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+)))
4138, 40syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑆𝑛) ∈ 𝑋 → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+)))
4241ralimia 2979 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆𝑛) ∈ 𝑋 → ∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
4328, 42syl 17 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
44 heibor.12 . . 3 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
4544fmpt 6421 . 2 (∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+) ↔ 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
4643, 45sylib 208 1 (𝜑𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  wss 3607  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  cop 4216   cuni 4468   ciun 4552   class class class wbr 4685  {copab 4745  cmpt 4762   × cxp 5141  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  2nd c2nd 7209  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  +crp 11870  seqcseq 12841  cexp 12900  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  CMetcms 23098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  heiborlem8  33747  heiborlem9  33748
  Copyright terms: Public domain W3C validator