Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem4 33743
Description: Lemma for heibor 33750. Using the function 𝑇 constructed in heiborlem3 33742, construct an infinite path in 𝐺. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
Assertion
Ref Expression
heiborlem4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴)𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝑢,𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑧,𝑣,𝑢,𝑚)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)

Proof of Theorem heiborlem4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑆𝑥) = (𝑆‘0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
31, 2breq12d 4698 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑆𝑥)𝐺𝑥 ↔ (𝑆‘0)𝐺0))
43imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (𝑆𝑥)𝐺𝑥) ↔ (𝜑 → (𝑆‘0)𝐺0)))
5 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑘))
6 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘𝑥 = 𝑘)
75, 6breq12d 4698 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑆𝑥)𝐺𝑥 ↔ (𝑆𝑘)𝐺𝑘))
87imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑆𝑥)𝐺𝑥) ↔ (𝜑 → (𝑆𝑘)𝐺𝑘)))
9 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝑘 + 1)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → 𝑥 = (𝑘 + 1))
119, 10breq12d 4698 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑆𝑥)𝐺𝑥 ↔ (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1)))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑆𝑥)𝐺𝑥) ↔ (𝜑 → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1))))
13 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
14 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
1513, 14breq12d 4698 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆𝑥)𝐺𝑥 ↔ (𝑆𝐴)𝐺𝐴))
1615imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑆𝑥)𝐺𝑥) ↔ (𝜑 → (𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
17 heibor.11 . . . . . . 7 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
1817fveq1i 6230 . . . . . 6 (𝑆‘0) = (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘0)
19 0z 11426 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
20 seq1 12854 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘0) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘0))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘0) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘0)
2218, 21eqtri 2673 . . . . 5 (𝑆‘0) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘0)
23 0nn0 11345 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
24 heibor.10 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐺0)
25 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
2625relopabi 5278 . . . . . . . 8 Rel 𝐺
2726brrelexi 5192 . . . . . . 7 (𝐶𝐺0 → 𝐶 ∈ V)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ V)
29 iftrue 4125 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)) = 𝐶)
30 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))
3129, 30fvmptg 6319 . . . . . 6 ((0 ∈ ℕ0𝐶 ∈ V) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘0) = 𝐶)
3223, 28, 31sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘0) = 𝐶)
3322, 32syl5eq 2697 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘0) = 𝐶)
3433, 24eqbrtrd 4707 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘0)𝐺0)
35 df-br 4686 . . . . . 6 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 ↔ ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺)
36 heibor.9 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
37 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝑇𝑥) = (𝑇‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩))
38 df-ov 6693 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) = (𝑇‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩)
3937, 38syl6eqr 2703 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝑇𝑥) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
40 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑘) ∈ V
41 vex 3234 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ V
4240, 41op2ndd 7221 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (2nd𝑥) = 𝑘)
4342oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((2nd𝑥) + 1) = (𝑘 + 1))
4439, 43breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ↔ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1)))
45 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝐵𝑥) = (𝐵‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩))
46 df-ov 6693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) = (𝐵‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩)
4745, 46syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝐵𝑥) = ((𝑆𝑘)𝐵𝑘))
4839, 43oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)))
4947, 48ineq12d 3848 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) = (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))))
5049eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾 ↔ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾))
5144, 50anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
5251rspccv 3337 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾) → (⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
5336, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
5435, 53syl5bi 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
55 seqp1 12856 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
56 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
5755, 56eleq2s 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
5817fveq1i 6230 . . . . . . . . . 10 (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1))
5917fveq1i 6230 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑘) = (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)
6059oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)))
6157, 58, 603eqtr4g 2710 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
62 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
63 nn0p1nn 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
64 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ≠ 0)
6564neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ¬ (𝑘 + 1) = 0)
66 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑘 + 1) = 0 → if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑘 + 1) − 1))
6763, 65, 663syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑘 + 1) − 1))
68 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) − 1) ∈ V
6967, 68syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) ∈ V)
70 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑘 + 1) = 0))
71 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
7270, 71ifbieq2d 4144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 + 1) → if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)) = if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)))
7372, 30fvmptg 6319 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) ∈ V) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)))
7462, 69, 73syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)))
75 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
76 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
77 pncan 10325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
7875, 76, 77sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
7974, 67, 783eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)) = 𝑘)
8079oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
8161, 80eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
8281breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1) ↔ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1)))
8382biimprd 238 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1)))
8483adantrd 483 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾) → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1)))
8554, 84syl9r 78 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1))))
8685a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝑆𝑘)𝐺𝑘) → (𝜑 → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1))))
874, 8, 12, 16, 34, 86nn0ind 11510 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑆𝐴)𝐺𝐴))
8887impcom 445 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴)𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  cop 4216   cuni 4468   ciun 4552   class class class wbr 4685  {copab 4745  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  2nd c2nd 7209  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  seqcseq 12841  cexp 12900  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  CMetcms 23098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842
This theorem is referenced by:  heiborlem5  33744  heiborlem6  33745  heiborlem8  33747
  Copyright terms: Public domain W3C validator