Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3lemN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapval3lemN 37647
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapval3.te (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3lem.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
hdmapval3lem.x (𝜑𝑥𝑉)
hdmapval3lem.xn (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
Assertion
Ref Expression
hdmapval3lemN (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3lemN
StepHypRef Expression
1 hdmapval3.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapval3.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapval3.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2771 . . 3 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hdmapval3.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6 hdmapval3.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 hdmapval3.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
8 eqid 2771 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
9 eqid 2771 . . 3 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapval3.i . . 3 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmapval3.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 eqid 2771 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
13 hdmapval3.j . . . . . 6 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15 eqid 2771 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmapval3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
171, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11dvheveccl 36922 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
181, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17hvmapcl2 37576 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
1918eldifad 3735 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ 𝐷)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17mapdhvmap 37579 . . . 4 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝐸})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐽𝐸)}))
211, 2, 11dvhlvec 36919 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
22 hdmapval3lem.x . . . . . . 7 (𝜑𝑥𝑉)
2317eldifad 3735 . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑉)
24 hdmapval3lem.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
2524eldifad 3735 . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑉)
26 hdmapval3lem.xn . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
273, 5, 21, 22, 23, 25, 26lspindpi 19346 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
2827simpld 482 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
2928necomd 2998 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22hdmap1cl 37614 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
31 eqidd 2772 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))
32 eqid 2771 . . . . . 6 (-g𝑈) = (-g𝑈)
33 eqid 2771 . . . . . 6 (-g𝐶) = (-g𝐶)
34 eqid 2771 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
351, 2, 11dvhlmod 36920 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
363, 34, 5, 35, 23, 25lspprcl 19191 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
374, 34, 35, 36, 22, 26lssneln0 19163 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
381, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20hdmap1eq 37611 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))}))))
3931, 38mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))})))
4039simpld 482 . . 3 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}))
41 hdmapval3.te . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
4241necomd 2998 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43 hdmapval3.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
443, 5, 35, 23, 25lspprid1 19210 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4534, 5, 35, 36, 44lspsnel5a 19209 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4645, 45unssd 3940 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4746, 26ssneldd 3755 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))
481, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47hdmapval2 37642 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐸) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩))
491, 16, 13, 43, 11hdmapevec 37645 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐸) = (𝐽𝐸))
5048, 49eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩) = (𝐽𝐸))
513, 5, 35, 23, 25lspprid2 19211 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5234, 5, 35, 36, 51lspsnel5a 19209 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5345, 52unssd 3940 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5453, 26ssneldd 3755 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
551, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54hdmapval2 37642 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
5655eqcomd 2777 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆𝑇))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56hdmap1eq4N 37616 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩) = (𝑆𝑇))
5857eqcomd 2777 1 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  cun 3721  {csn 4316  {cpr 4318  cop 4322  cotp 4324   I cid 5156  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  0gc0g 16308  -gcsg 17632  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  DVecHcdvh 36888  LCDualclcd 37396  mapdcmpd 37434  HVMapchvm 37566  HDMap1chdma1 37601  HDMapchdma 37602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-lcdual 37397  df-mapd 37435  df-hvmap 37567  df-hdmap1 37603  df-hdmap 37604
This theorem is referenced by:  hdmapval3N  37648
  Copyright terms: Public domain W3C validator