Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem9N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem9N 37568
 Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 21, s=S(t). TODO: we seem to be going back and forth with mapd11 37347 and mapdcnv11N 37367. Use better hypotheses and/or theorems? (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
hdmaprnlem1.p + = (+g𝑈)
hdmaprnlem1.pt (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem9N (𝜑𝑠 = (𝑆𝑡))

Proof of Theorem hdmaprnlem9N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmaprnlem1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmaprnlem1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 hdmaprnlem1.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 hdmaprnlem1.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
7 hdmaprnlem1.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaprnlem1.s . . . . . 6 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 hdmaprnlem1.se . . . . . 6 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
11 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
12 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
13 hdmaprnlem1.ue . . . . . 6 (𝜑𝑢𝑉)
14 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
15 hdmaprnlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐶)
16 hdmaprnlem1.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝐶)
17 hdmaprnlem1.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
18 hdmaprnlem1.a . . . . . 6 = (+g𝐶)
19 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
20 hdmaprnlem1.p . . . . . 6 + = (+g𝑈)
21 hdmaprnlem1.pt . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem7N 37566 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem8N 37567 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4N 37564 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))
2523, 24eleqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{𝑠}))
2622, 25elind 3906 . . . 4 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ ((𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∩ (𝐿‘{𝑠})))
271, 5, 9lcdlvec 37299 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
281, 5, 9lcdlmod 37300 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
291, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 13hdmapcl 37541 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
3010eldifad 3692 . . . . . 6 (𝜑𝑠𝐷)
3115, 18lmodvacl 19000 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
3228, 29, 30, 31syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
33 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3415, 33, 6lspsncl 19100 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷) → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3528, 30, 34syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
361, 7, 5, 33, 9mapdrn2 37359 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
3735, 36eleqtrrd 2806 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ ran 𝑀)
381, 7, 9, 37mapdcnvid2 37365 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) = (𝐿‘{𝑠}))
3912, 38eqtr4d 2761 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))))
40 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
411, 2, 9dvhlmod 36818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
423, 40, 4lspsncl 19100 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4341, 11, 42syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
441, 7, 2, 40, 9, 37mapdcnvcl 37360 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
451, 2, 40, 7, 9, 43, 44mapd11 37347 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) ↔ (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))))
4639, 45mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hdmaprnlem3N 37561 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4846, 47eqnetrrd 2964 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4915, 33, 6lspsncl 19100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5028, 32, 49syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5150, 36eleqtrrd 2806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
521, 7, 9, 37, 51mapdcnv11N 37367 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
5352necon3bid 2940 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
5448, 53mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
5554necomd 2951 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
5615, 16, 6, 27, 32, 30, 55lspdisj2 19250 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∩ (𝐿‘{𝑠})) = {𝑄})
5726, 56eleqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ {𝑄})
58 elsni 4302 . . 3 ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ {𝑄} → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄)
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄)
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4tN 37563 . . . 4 (𝜑𝑡𝑉)
611, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 60hdmapcl 37541 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑡) ∈ 𝐷)
62 eqid 2724 . . . 4 (-g𝐶) = (-g𝐶)
6315, 16, 62lmodsubeq0 19045 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷 ∧ (𝑆𝑡) ∈ 𝐷) → ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄𝑠 = (𝑆𝑡)))
6428, 30, 61, 63syl3anc 1439 . 2 (𝜑 → ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄𝑠 = (𝑆𝑡)))
6559, 64mpbid 222 1 (𝜑𝑠 = (𝑆𝑡))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896   ∖ cdif 3677   ∩ cin 3679  {csn 4285  ◡ccnv 5217  ran crn 5219  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  0gc0g 16223  -gcsg 17546  LModclmod 18986  LSubSpclss 19055  LSpanclspn 19094  HLchlt 35057  LHypclh 35690  DVecHcdvh 36786  LCDualclcd 37294  mapdcmpd 37332  HDMapchdma 37501 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-riotaBAD 34659 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-ot 4294  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-tpos 7472  df-undef 7519  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-0g 16225  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-preset 17050  df-poset 17068  df-plt 17080  df-lub 17096  df-glb 17097  df-join 17098  df-meet 17099  df-p0 17161  df-p1 17162  df-lat 17168  df-clat 17230  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-subg 17713  df-cntz 17871  df-oppg 17897  df-lsm 18172  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-oppr 18744  df-dvdsr 18762  df-unit 18763  df-invr 18793  df-dvr 18804  df-drng 18872  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lsp 19095  df-lvec 19226  df-lsatoms 34683  df-lshyp 34684  df-lcv 34726  df-lfl 34765  df-lkr 34793  df-ldual 34831  df-oposet 34883  df-ol 34885  df-oml 34886  df-covers 34973  df-ats 34974  df-atl 35005  df-cvlat 35029  df-hlat 35058  df-llines 35204  df-lplanes 35205  df-lvols 35206  df-lines 35207  df-psubsp 35209  df-pmap 35210  df-padd 35502  df-lhyp 35694  df-laut 35695  df-ldil 35810  df-ltrn 35811  df-trl 35866  df-tgrp 36450  df-tendo 36462  df-edring 36464  df-dveca 36710  df-disoa 36737  df-dvech 36787  df-dib 36847  df-dic 36881  df-dih 36937  df-doch 37056  df-djh 37103  df-lcdual 37295  df-mapd 37333  df-hvmap 37465  df-hdmap1 37502  df-hdmap 37503 This theorem is referenced by:  hdmaprnlem10N  37570
 Copyright terms: Public domain W3C validator