Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem3uN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem3uN 37661
 Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem3uN (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))

Proof of Theorem hdmaprnlem3uN
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmaprnlem1.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmaprnlem1.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2771 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 hdmaprnlem1.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 36920 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.ue . . . 4 (𝜑𝑢𝑉)
8 hdmaprnlem1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
108, 4, 9lspsncl 19190 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
116, 7, 10syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
121, 2, 3, 4, 5, 11mapdcnvid1N 37464 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑁‘{𝑢}))
13 hdmaprnlem1.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
15 hdmaprnlem1.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
161, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 7hdmap10 37650 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆𝑢)}))
17 hdmaprnlem1.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
18 hdmaprnlem1.a . . . . 5 = (+g𝐶)
19 hdmaprnlem1.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝐶)
201, 13, 5lcdlvec 37401 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
211, 3, 8, 13, 17, 15, 5, 7hdmapcl 37640 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
22 hdmaprnlem1.se . . . . 5 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
23 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
24 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
261, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 22, 23, 24, 7, 25hdmaprnlem1N 37659 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
2717, 18, 19, 14, 20, 21, 22, 26lspindp3 19350 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
2816, 27eqnetrd 3010 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
291, 2, 3, 4, 5, 11mapdcl 37463 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ ran 𝑀)
301, 13, 5lcdlmod 37402 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
3122eldifad 3735 . . . . . . . 8 (𝜑𝑠𝐷)
3217, 18lmodvacl 19087 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
3330, 21, 31, 32syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
34 eqid 2771 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3517, 34, 14lspsncl 19190 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3630, 33, 35syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
371, 2, 13, 34, 5mapdrn2 37461 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
3836, 37eleqtrrd 2853 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
391, 2, 5, 29, 38mapdcnv11N 37469 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4039necon3bid 2987 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4128, 40mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4212, 41eqnetrrd 3011 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3720  {csn 4316  ◡ccnv 5248  ran crn 5250  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  LCDualclcd 37396  mapdcmpd 37434  HDMapchdma 37602 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-lcdual 37397  df-mapd 37435  df-hvmap 37567  df-hdmap1 37603  df-hdmap 37604 This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  37668
 Copyright terms: Public domain W3C validator