Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem3N 37663
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 15, T P. Our (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) is Baer's P, where P* = G(u'+s). (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem3N (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))

Proof of Theorem hdmaprnlem3N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
2 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
3 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 hdmaprnlem1.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5lcdlmod 37402 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaprnlem1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 hdmaprnlem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmaprnlem1.ue . . . . . . 7 (𝜑𝑢𝑉)
113, 7, 8, 4, 1, 9, 5, 10hdmapcl 37643 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
12 hdmaprnlem1.se . . . . . . 7 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
1312eldifad 3728 . . . . . 6 (𝜑𝑠𝐷)
14 hdmaprnlem1.a . . . . . . 7 = (+g𝐶)
151, 14lmodvacl 19100 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
166, 11, 13, 15syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
17 eqid 2761 . . . . . 6 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
181, 17, 2lspsncl 19200 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷) → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
196, 13, 18syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
201, 2lspsnid 19216 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷) → 𝑠 ∈ (𝐿‘{𝑠}))
216, 13, 20syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑𝑠 ∈ (𝐿‘{𝑠}))
22 hdmaprnlem1.q . . . . . . 7 𝑄 = (0g𝐶)
233, 4, 5lcdlvec 37401 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
24 hdmaprnlem1.o . . . . . . . 8 0 = (0g𝑈)
25 eqid 2761 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
263, 7, 5dvhlmod 36920 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
27 hdmaprnlem1.ve . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑣𝑉)
28 hdmaprnlem1.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
298, 25, 28lspsncl 19200 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3026, 27, 29syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31 hdmaprnlem1.un . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
328, 24, 25, 26, 30, 10, 31lssneln0 19175 . . . . . . . 8 (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
333, 7, 8, 24, 4, 22, 1, 9, 5, 32hdmapnzcl 37658 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
34 hdmaprnlem1.m . . . . . . . 8 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
35 hdmaprnlem1.e . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
363, 7, 8, 28, 4, 2, 34, 9, 5, 12, 27, 35, 10, 31hdmaprnlem1N 37662 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
371, 22, 2, 23, 33, 13, 36lspsnne1 19340 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑆𝑢) ∈ (𝐿‘{𝑠}))
381, 14, 17, 6, 19, 21, 11, 37lssvancl2 19169 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ (𝐿‘{𝑠}))
391, 2, 6, 16, 13, 38lspsnne2 19341 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
4039necomd 2988 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
411, 17, 2lspsncl 19200 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
426, 16, 41syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
433, 34, 4, 17, 5mapdrn2 37461 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
4442, 43eleqtrrd 2843 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
453, 34, 5, 44mapdcnvid2 37467 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
4640, 35, 453netr4d 3010 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ≠ (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))))
473, 34, 7, 25, 5, 44mapdcnvcl 37462 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
483, 7, 25, 34, 5, 30, 47mapd11 37449 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))) ↔ (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))))
4948necon3bid 2977 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ≠ (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))) ↔ (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))))
5046, 49mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  cdif 3713  {csn 4322  ccnv 5266  ran crn 5268  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  +gcplusg 16164  0gc0g 16323  LModclmod 19086  LSubSpclss 19155  LSpanclspn 19194  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  LCDualclcd 37396  mapdcmpd 37434  HDMapchdma 37603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-ot 4331  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-tpos 7523  df-undef 7570  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-0g 16325  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-p1 17262  df-lat 17268  df-clat 17330  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-oppg 17997  df-lsm 18272  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904  df-drng 18972  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-lvec 19326  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-lcdual 37397  df-mapd 37435  df-hvmap 37567  df-hdmap1 37604  df-hdmap 37605
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem9N  37670  hdmaprnlem3eN  37671
  Copyright terms: Public domain W3C validator