Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapglem5 37725
Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem5.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem5.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem5.p + = (+g𝑈)
hdmapglem5.m = (-g𝑈)
hdmapglem5.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapglem5.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem5.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem5.t × = (.r𝑅)
hdmapglem5.z 0 = (0g𝑅)
hdmapglem5.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem5.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapglem5.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.d (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem5.i (𝜑𝐼𝐵)
hdmapglem5.j (𝜑𝐽𝐵)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapglem5.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapglem5.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 36913 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 hdmapglem5.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
65lmodring 19080 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 hdmapglem5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 hdmapglem5.g . . . 4 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapglem5.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
11 hdmapglem5.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 (0g𝑈) = (0g𝑈)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 36915 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
1716eldifad 3733 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑉)
1817snssd 4473 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
19 hdmapglem5.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
201, 2, 10, 19dochssv 37158 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
213, 18, 20syl2anc 565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
22 hdmapglem5.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2321, 22sseldd 3751 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
24 hdmapglem5.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2521, 24sseldd 3751 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
261, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25hdmapipcl 37708 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵)
271, 2, 5, 8, 9, 3, 26hgmapcl 37692 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵)
28 hdmapglem5.t . . . 4 × = (.r𝑅)
29 eqid 2770 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
308, 28, 29ringlidm 18778 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)))
317, 27, 30syl2anc 565 . 2 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)))
32 hdmapglem5.p . . 3 + = (+g𝑈)
33 hdmapglem5.m . . 3 = (-g𝑈)
34 hdmapglem5.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
35 hdmapglem5.z . . 3 0 = (0g𝑅)
368, 29ringidcl 18775 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
377, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
381, 2, 5, 29, 9, 3hgmapval1 37696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘(1r𝑅)) = (1r𝑅))
3938oveq2d 6808 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r𝑅))) = (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)))
408, 28, 29ringridm 18779 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑆𝐷)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
417, 26, 40syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (1r𝑅)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
4239, 41eqtrd 2804 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐷)‘𝐶) × (𝐺‘(1r𝑅))) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
431, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42hdmapinvlem4 37724 . 2 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶))) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
4431, 43eqtr3d 2806 1 (𝜑 → (𝐺‘((𝑆𝐷)‘𝐶)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wss 3721  {csn 4314  cop 4320   I cid 5156  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  .rcmulr 16149  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  0gc0g 16307  -gcsg 17631  1rcur 18708  Ringcrg 18754  LModclmod 19072  HLchlt 35152  LHypclh 35785  LTrncltrn 35902  DVecHcdvh 36881  ocHcoch 37150  HDMapchdma 37595  HGMapchg 37686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-riotaBAD 34754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-ot 4323  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-undef 7550  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-oppg 17982  df-lsm 18257  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315  df-lsatoms 34778  df-lshyp 34779  df-lcv 34821  df-lfl 34860  df-lkr 34888  df-ldual 34926  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961  df-tgrp 36545  df-tendo 36557  df-edring 36559  df-dveca 36805  df-disoa 36832  df-dvech 36882  df-dib 36942  df-dic 36976  df-dih 37032  df-doch 37151  df-djh 37198  df-lcdual 37390  df-mapd 37428  df-hvmap 37560  df-hdmap1 37596  df-hdmap 37597  df-hgmap 37687
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  37726  hdmapglem7  37732
  Copyright terms: Public domain W3C validator