Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6lem1 37610
Description: Lemma for hdmap1l6 37624. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 16-18. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6e.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
hdmap1l6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
hdmap1l6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6lem1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))

Proof of Theorem hdmap1l6lem1
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2770 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 hdmap1l6.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 36913 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmap1l6cl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3733 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
9 hdmap1l6e.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3733 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
11 hdmap1l6.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 hdmap1l6.s . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
1311, 12lmodvsubcl 19117 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
146, 8, 10, 13syl3anc 1475 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
15 hdmap1l6.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1611, 4, 15lspsncl 19189 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
176, 14, 16syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 hdmap1l6e.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1918eldifad 3733 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
2011, 4, 15lspsncl 19189 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
216, 19, 20syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22 eqid 2770 . . . . . 6 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
234, 22lsmcl 19295 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
246, 17, 21, 23syl3anc 1475 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2511, 12lmodvsubcl 19117 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
266, 8, 19, 25syl3anc 1475 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
2711, 4, 15lspsncl 19189 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
286, 26, 27syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2911, 4, 15lspsncl 19189 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
306, 10, 29syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
314, 22lsmcl 19295 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
326, 28, 30, 31syl3anc 1475 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
331, 2, 3, 4, 5, 24, 32mapdin 37465 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
34 hdmap1l6.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35 eqid 2770 . . . . . 6 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
361, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 17, 21mapdlsm 37467 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
371, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 28, 30mapdlsm 37467 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
3836, 37ineq12d 3964 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
39 hdmap1l6.fg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
40 hdmap1l6c.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
41 hdmap1l6.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐶)
42 hdmap1l6.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (-g𝐶)
43 hdmap1l6.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
44 hdmap1l6.i . . . . . . . . 9 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
45 hdmap1l6.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐷)
46 hdmap1l6.mn . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
471, 3, 5dvhlvec 36912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
48 hdmap1l6.yz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
49 hdmap1l6e.xn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
5011, 40, 15, 47, 10, 18, 8, 48, 49lspindp2 19348 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5150simpld 476 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
521, 3, 11, 40, 15, 34, 41, 43, 2, 44, 5, 45, 46, 51, 7, 10hdmap1cl 37607 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
5339, 52eqeltrrd 2850 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐷)
541, 3, 11, 12, 40, 15, 34, 41, 42, 43, 2, 44, 5, 7, 45, 9, 53, 51, 46hdmap1eq 37604 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
5539, 54mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
5655simprd 477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
57 hdmap1l6.fe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
5811, 40, 15, 47, 9, 19, 8, 48, 49lspindp1 19346 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5958simpld 476 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
601, 3, 11, 40, 15, 34, 41, 43, 2, 44, 5, 45, 46, 59, 7, 19hdmap1cl 37607 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
6157, 60eqeltrrd 2850 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐷)
621, 3, 11, 12, 40, 15, 34, 41, 42, 43, 2, 44, 5, 7, 45, 18, 61, 59, 46hdmap1eq 37604 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
6357, 62mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
6463simpld 476 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}))
6556, 64oveq12d 6810 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})))
6663simprd 477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
6755simpld 476 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}))
6866, 67oveq12d 6810 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐺})))
6965, 68ineq12d 3964 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐺}))))
7038, 69eqtrd 2804 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐺}))))
7133, 70eqtrd 2804 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐺}))))
72 hdmap1l6.p . . . 4 + = (+g𝑈)
7311, 12, 40, 22, 15, 47, 8, 49, 48, 9, 18, 72baerlem5a 37517 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
7473fveq2d 6336 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
75 hdmap1l6.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
761, 34, 5lcdlvec 37394 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
771, 2, 3, 11, 15, 34, 41, 43, 5, 45, 46, 8, 10, 53, 67, 19, 61, 64, 49mapdindp 37474 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐿‘{𝐺, 𝐸}))
781, 2, 3, 11, 15, 34, 41, 43, 5, 53, 67, 10, 19, 61, 64, 48mapdncol 37473 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{𝐺}) ≠ (𝐿‘{𝐸}))
791, 2, 3, 11, 15, 34, 41, 43, 5, 53, 67, 40, 75, 9mapdn0 37472 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
801, 2, 3, 11, 15, 34, 41, 43, 5, 61, 64, 40, 75, 18mapdn0 37472 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
81 hdmap1l6.a . . 3 = (+g𝐶)
8241, 42, 75, 35, 43, 76, 45, 77, 78, 79, 80, 81baerlem5a 37517 . 2 (𝜑 → (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}) = (((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐺}))))
8371, 74, 823eqtr4d 2814 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  cdif 3718  cin 3720  {csn 4314  {cpr 4316  cotp 4322  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  0gc0g 16307  -gcsg 17631  LSSumclsm 18255  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141  LSpanclspn 19183  HLchlt 35152  LHypclh 35785  DVecHcdvh 36881  LCDualclcd 37389  mapdcmpd 37427  HDMap1chdma1 37594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-riotaBAD 34754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-ot 4323  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-undef 7550  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-oppg 17982  df-lsm 18257  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315  df-lsatoms 34778  df-lshyp 34779  df-lcv 34821  df-lfl 34860  df-lkr 34888  df-ldual 34926  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961  df-tgrp 36545  df-tendo 36557  df-edring 36559  df-dveca 36805  df-disoa 36832  df-dvech 36882  df-dib 36942  df-dic 36976  df-dih 37032  df-doch 37151  df-djh 37198  df-lcdual 37390  df-mapd 37428  df-hdmap1 37596
This theorem is referenced by:  hdmap1l6lem2  37611  hdmap1l6a  37612
  Copyright terms: Public domain W3C validator