Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6c 37622
Description: Lemmma for hdmap1l6 37631. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6c.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmap1l6c.z (𝜑𝑍 = 0 )
hdmap1l6c.ne (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6c (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6c
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37402 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lmodgrp 19080 . . . 4 (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Grp)
7 hdmap1l6.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1l6.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 hdmap1l6c.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
10 hdmap1l6.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 hdmap1l6.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 hdmap1l6.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
13 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmap1l6.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap1l6.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
16 hdmap1l6.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
171, 7, 3dvhlvec 36919 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
18 hdmap1l6cl.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1918eldifad 3735 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
20 hdmap1l6c.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
21 hdmap1l6c.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 = 0 )
221, 7, 3dvhlmod 36920 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
238, 9lmod0vcl 19102 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 0𝑉)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑0𝑉)
2521, 24eqeltrd 2850 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
26 hdmap1l6c.ne . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
278, 10, 17, 19, 20, 25, 26lspindpi 19346 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2827simpld 482 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
291, 7, 8, 9, 10, 2, 11, 12, 13, 14, 3, 15, 16, 28, 18, 20hdmap1cl 37614 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
30 hdmap1l6.a . . . 4 = (+g𝐶)
31 hdmap1l6.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
3211, 30, 31grprid 17661 . . 3 ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
336, 29, 32syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
3421oteq3d 4553 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
3534fveq2d 6336 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
361, 7, 8, 9, 2, 11, 31, 14, 3, 15, 19hdmap1val0 37609 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3735, 36eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝑄)
3837oveq2d 6809 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄))
3921oveq2d 6809 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 + 0 ))
40 lmodgrp 19080 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
4122, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
42 hdmap1l6.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
438, 42, 9grprid 17661 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
4441, 20, 43syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
4539, 44eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑌)
4645oteq3d 4553 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)
4746fveq2d 6336 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
4833, 38, 473eqtr4rd 2816 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  {csn 4316  {cpr 4318  cotp 4324  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  LModclmod 19073  LSpanclspn 19184  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  LCDualclcd 37396  mapdcmpd 37434  HDMap1chdma1 37601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-lcdual 37397  df-mapd 37435  df-hdmap1 37603
This theorem is referenced by:  hdmap1l6k  37630
  Copyright terms: Public domain W3C validator