Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eulemOLDN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1eulemOLDN 37626
 Description: Lemma for hdmap1euOLDN 37628. TODO: combine with hdmap1euOLDN 37628 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eulem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1eulem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1eulem.s = (-g𝑈)
hdmap1eulem.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1eulem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1eulem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1eulem.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1eulem.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1eulem.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1eulem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1eulem.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
hdmap1eulem.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eulem.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1eulem.y (𝜑𝑇𝑉)
hdmap1eulem.l 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
Assertion
Ref Expression
hdmap1eulemOLDN (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
Distinct variable groups:   𝐶,   𝑥,,𝑦,𝑧,𝐷   ,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝐽,𝑥   ,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   0 ,,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑄   𝑅,,𝑥   ,,𝑥   𝑇,,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,,𝑧   ,𝑉,𝑦,𝑧   ,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝑀(𝑦,𝑧)   (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,)

Proof of Theorem hdmap1eulemOLDN
StepHypRef Expression
1 hdmap1eulem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1eulem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1eulem.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1eulem.s . . 3 = (-g𝑈)
5 hdmap1eulem.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 hdmap1eulem.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 hdmap1eulem.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1eulem.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 hdmap1eulem.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
10 hdmap1eulem.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
11 hdmap1eulem.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 hdmap1eulem.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap1eulem.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 hdmap1eulem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 hdmap1eulem.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 hdmap1eulem.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 hdmap1eulem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 hdmap1eulem.y . . 3 (𝜑𝑇𝑉)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18mapdh9aOLDN 37593 . 2 (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
20 hdmap1eulem.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
2114ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2217ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2315ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝐹𝐷)
24 simplr 744 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧𝑉)
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 13hdmap1valc 37606 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
2625oteq2d 4550 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
2726fveq2d 6336 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
28 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
291, 2, 14dvhlmod 36913 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3029ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
3117eldifad 3733 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
323, 28, 6, 29, 31, 18lspprcl 19190 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3332ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
355, 28, 30, 33, 24, 34lssneln0 19162 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3616ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
371, 2, 14dvhlvec 36912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3837ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
3931ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋𝑉)
4018ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑇𝑉)
413, 6, 38, 24, 39, 40, 34lspindpi 19345 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
4241simpld 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
4342necomd 2997 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
4410, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 21, 23, 36, 22, 24, 43mapdhcl 37530 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 35, 44, 40, 13hdmap1valc 37606 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
4627, 45eqtrd 2804 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
4746eqeq2d 2780 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ↔ 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
4847pm5.74da 817 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
4948ralbidva 3133 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∀𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
5049reubidv 3274 . 2 (𝜑 → (∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
5119, 50mpbird 247 1 (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  ∃!wreu 3062  Vcvv 3349   ∖ cdif 3718  ifcif 4223  {csn 4314  {cpr 4316  ⟨cotp 4322   ↦ cmpt 4861  ‘cfv 6031  ℩crio 6752  (class class class)co 6792  1st c1st 7312  2nd c2nd 7313  Basecbs 16063  0gc0g 16307  -gcsg 17631  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141  LSpanclspn 19183  LVecclvec 19314  HLchlt 35152  LHypclh 35785  DVecHcdvh 36881  LCDualclcd 37389  mapdcmpd 37427  HDMap1chdma1 37594 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-riotaBAD 34754 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-ot 4323  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-undef 7550  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-oppg 17982  df-lsm 18257  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315  df-lsatoms 34778  df-lshyp 34779  df-lcv 34821  df-lfl 34860  df-lkr 34888  df-ldual 34926  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961  df-tgrp 36545  df-tendo 36557  df-edring 36559  df-dveca 36805  df-disoa 36832  df-dvech 36882  df-dib 36942  df-dic 36976  df-dih 37032  df-doch 37151  df-djh 37198  df-lcdual 37390  df-mapd 37428  df-hdmap1 37596 This theorem is referenced by:  hdmap1euOLDN  37628
 Copyright terms: Public domain W3C validator