HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hcau 28346
Description: Member of the set of Cauchy sequences on a Hilbert space. Definition for Cauchy sequence in [Beran] p. 96. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hcau (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹

Proof of Theorem hcau
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6347 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑦) = (𝐹𝑦))
2 fveq1 6347 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑧) = (𝐹𝑧))
31, 2oveq12d 6827 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧)) = ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)))
43fveq2d 6352 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) = (norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
54breq1d 4810 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥 ↔ (norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
65rexralbidv 3192 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
76ralbidv 3120 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
8 df-hcau 28135 . . 3 Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥}
97, 8elrab2 3503 . 2 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
10 ax-hilex 28161 . . . 4 ℋ ∈ V
11 nnex 11214 . . . 4 ℕ ∈ V
1210, 11elmap 8048 . . 3 (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
1312anbi1i 733 . 2 ((𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
149, 13bitri 264 1 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wral 3046  wrex 3047   class class class wbr 4800  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  𝑚 cmap 8019   < clt 10262  cn 11208  cuz 11875  +crp 12021  chil 28081  normcno 28085   cmv 28087  Cauchyccau 28088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-hilex 28161
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-map 8021  df-nn 11209  df-hcau 28135
This theorem is referenced by:  hcauseq  28347  hcaucvg  28348  seq1hcau  28349  chscllem2  28802
  Copyright terms: Public domain W3C validator