Theorem hcau 28346

Description: Member of the set of Cauchy sequences on a Hilbert space. Definition for Cauchy sequence in [Beran] p. 96. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hcau	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹

Proof of Theorem hcau

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
2		fveq1 6347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
3	1, 2	oveq12d 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧)))
4	3	fveq2d 6352	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) = (normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))))
5	4	breq1d 4810	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
6	5	rexralbidv 3192	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
7	6	ralbidv 3120	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
8		df-hcau 28135	. . 3 ⊢ Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥}
9	7, 8	elrab2 3503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
10		ax-hilex 28161	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
11		nnex 11214	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
12	10, 11	elmap 8048	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
13	12	anbi1i 733	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
14	9, 13	bitri 264	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  ∀wral 3046  ∃wrex 3047   class class class wbr 4800  ⟶wf 6041  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809   ↑_𝑚 cmap 8019   < clt 10262  ℕcn 11208  ℤ_≥cuz 11875  ℝ⁺crp 12021   ℋchil 28081  norm_ℎcno 28085   −_ℎ cmv 28087  Cauchyccau 28088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-hilex 28161

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-map 8021  df-nn 11209  df-hcau 28135

This theorem is referenced by:  hcauseq  28347  hcaucvg  28348  seq1hcau  28349  chscllem2  28802