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Theorem hbimpg 38596
Description: A closed form of hbim 2126. Derived from hbimpgVD 38966. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hbimpg ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓)))

Proof of Theorem hbimpg
StepHypRef Expression
1 hba1 2150 . . 3 (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
2 hba1 2150 . . 3 (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
31, 2hban 2127 . 2 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)))
4 hbntal 38595 . . . . . 6 (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
54adantr 481 . . . . 5 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
6519.21bi 2058 . . . 4 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
7 pm2.21 120 . . . . 5 𝜑 → (𝜑𝜓))
87alimi 1738 . . . 4 (∀𝑥 ¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑𝜓))
96, 8syl6 35 . . 3 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑𝜓)))
10 simpr 477 . . . . 5 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
111019.21bi 2058 . . . 4 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
12 ax-1 6 . . . . 5 (𝜓 → (𝜑𝜓))
1312alimi 1738 . . . 4 (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑𝜓))
1411, 13syl6 35 . . 3 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜑𝜓)))
159, 14jad 174 . 2 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓)))
163, 15alrimih 1750 1 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wal 1480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-10 2018  ax-12 2046
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709
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