Theorem haustsmsid 22164

Description: In a Hausdorff topological group, a finite sum sums to exactly the usual number with no extraneous limit points. By setting the topology to the discrete topology (which is Hausdorff), this theorem can be used to turn any tsums theorem into a Σ_g theorem, so that the infinite group sum operation can be viewed as a generalization of the finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
haustsmsid.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsmsid.h	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)

Assertion

Ref	Expression
haustsmsid	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {(𝐺 Σg 𝐹)})

Proof of Theorem haustsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmsid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		tsmsid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmsid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
5		tsmsid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmsid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		tsmsid.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tsmsid 22163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
9		haustsmsid.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10		haustsmsid.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
11	1, 3, 4, 5, 6, 9, 10	haustsms2 22160	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {(𝐺 Σg 𝐹)}))
12	8, 11	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {(𝐺 Σg 𝐹)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {csn 4317   class class class wbr 4787  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   finSupp cfsupp 8435  Basecbs 16064  TopOpenctopn 16290  0_gc0g 16308   Σ_g cgsu 16309  CMndccmn 18400  TopSpctps 20957  Hauscha 21333   tsums ctsu 22149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-haus 21340  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tsms 22150

This theorem is referenced by:  taylpfval  24339  esumpfinval  30477  esumpfinvalf  30478