MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hauspwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hauspwdom 21352
Description: Simplify the cardinal 𝐴↑ℕ of hausmapdom 21351 to 𝒫 𝐵 = 2↑𝐵 when 𝐵 is an infinite cardinal greater than 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hauspwdom.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hauspwdom (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem hauspwdom
StepHypRef Expression
1 hauspwdom.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21hausmapdom 21351 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))
32adantr 480 . 2 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))
4 simprr 811 . . . 4 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ℕ ≼ 𝐵)
5 1nn 11069 . . . . 5 1 ∈ ℕ
6 noel 3952 . . . . . . 7 ¬ 1 ∈ ∅
7 eleq2 2719 . . . . . . 7 (ℕ = ∅ → (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∅))
86, 7mtbiri 316 . . . . . 6 (ℕ = ∅ → ¬ 1 ∈ ℕ)
98adantr 480 . . . . 5 ((ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ 1 ∈ ℕ)
105, 9mt2 191 . . . 4 ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
11 mapdom2 8172 . . . 4 ((ℕ ≼ 𝐵 ∧ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴𝑚 ℕ) ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
124, 10, 11sylancl 695 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴𝑚 ℕ) ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
13 sdomdom 8025 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≼ 2𝑜)
1413adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → 𝐴 ≼ 2𝑜)
15 mapdom1 8166 . . . . . 6 (𝐴 ≼ 2𝑜 → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜𝑚 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜𝑚 𝐵))
17 reldom 8003 . . . . . . . . 9 Rel ≼
1817brrelex2i 5193 . . . . . . . 8 (ℕ ≼ 𝐵𝐵 ∈ V)
1918ad2antll 765 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
20 pw2eng 8107 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
21 ensym 8046 . . . . . . 7 (𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵) → (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2322adantr 480 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24 domentr 8056 . . . . 5 (((𝐴𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜𝑚 𝐵) ∧ (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
2516, 23, 24syl2anc 694 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
26 onfin2 8193 . . . . . . . . 9 ω = (On ∩ Fin)
27 inss2 3867 . . . . . . . . 9 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
2826, 27eqsstri 3668 . . . . . . . 8 ω ⊆ Fin
29 2onn 7765 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
3028, 29sselii 3633 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ Fin
31 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
3217brrelexi 5192 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵𝐴 ∈ V)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
34 fidomtri 8857 . . . . . . 7 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2𝑜𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
3530, 33, 34sylancr 696 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2𝑜𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
3635biimpar 501 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜) → 2𝑜𝐴)
37 numth3 9330 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
3819, 37syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
40 nnenom 12819 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
4140ensymi 8047 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ
42 endomtr 8055 . . . . . . . . 9 ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
4341, 4, 42sylancr 696 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ω ≼ 𝐵)
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → ω ≼ 𝐵)
45 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → 2𝑜𝐴)
4631adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
47 mappwen 8973 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2𝑜𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
4839, 44, 45, 46, 47syl22anc 1367 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
49 endom 8024 . . . . . 6 ((𝐴𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5136, 50syldan 486 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5225, 51pm2.61dan 849 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
53 domtr 8050 . . 3 (((𝐴𝑚 ℕ) ≼ (𝐴𝑚 𝐵) ∧ (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵) → (𝐴𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
5412, 52, 53syl2anc 694 . 2 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
55 domtr 8050 . 2 ((((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ (𝐴𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
563, 54, 55syl2anc 694 1 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Oncon0 5761  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  2𝑜c2o 7599  𝑚 cmap 7899  cen 7994  cdom 7995  csdm 7996  Fincfn 7997  cardccrd 8799  1c1 9975  cn 11058  clsccl 20870  Hauscha 21160  1st𝜔c1stc 21288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-top 20747  df-topon 20764  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-lm 21081  df-haus 21167  df-1stc 21290
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator