Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausnlly Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausnlly 21517
 Description: A Hausdorff space is n-locally Hausdorff iff it is locally Hausdorff (both notions are thus referred to as "locally Hausdorff"). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausnlly (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Haus ↔ 𝐽 ∈ Locally Haus)

Proof of Theorem hausnlly
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resthaus 21393 . . . . 5 ((𝑗 ∈ Haus ∧ 𝑥𝑗) → (𝑗t 𝑥) ∈ Haus)
21adantl 467 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑗 ∈ Haus ∧ 𝑥𝑗)) → (𝑗t 𝑥) ∈ Haus)
32restnlly 21506 . . 3 (⊤ → 𝑛-Locally Haus = Locally Haus)
43trud 1641 . 2 𝑛-Locally Haus = Locally Haus
54eleq2i 2842 1 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Haus ↔ 𝐽 ∈ Locally Haus)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631  ⊤wtru 1632   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6793   ↾t crest 16289  Hauscha 21333  Locally clly 21488  𝑛-Locally cnlly 21489 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-fin 8113  df-fi 8473  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-nei 21123  df-cn 21252  df-haus 21340  df-lly 21490  df-nlly 21491 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator