MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausmapdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausmapdom 21525
Description: If 𝑋 is a first-countable Hausdorff space, then the cardinality of the closure of a set 𝐴 is bounded by to the power 𝐴. In particular, a first-countable Hausdorff space with a dense subset 𝐴 has cardinality at most 𝐴↑ℕ, and a separable first-countable Hausdorff space has cardinality at most 𝒫 ℕ. (Compare hauspwpwdom 22013 to see a weaker result if the assumption of first-countability is omitted.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hauspwdom.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hausmapdom ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))

Proof of Theorem hausmapdom
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauspwdom.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
211stcelcls 21486 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
323adant1 1125 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
4 uniexg 7121 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ V)
543ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ V)
61, 5syl5eqel 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7 simp3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
86, 7ssexd 4957 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
9 nnex 11238 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
10 elmapg 8038 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
118, 9, 10sylancl 697 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
1211anbi1d 743 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
1312exbidv 1999 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
143, 13bitr4d 271 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
15 df-rex 3056 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
1614, 15syl6bbr 278 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
17 vex 3343 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1817elima 5629 . . . 4 (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)
1916, 18syl6bbr 278 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ))))
2019eqrdv 2758 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)))
21 ovex 6842 . . 3 (𝐴𝑚 ℕ) ∈ V
22 lmfun 21407 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
23223ad2ant1 1128 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → Fun (⇝𝑡𝐽))
24 imadomg 9568 . . 3 ((𝐴𝑚 ℕ) ∈ V → (Fun (⇝𝑡𝐽) → ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)) ≼ (𝐴𝑚 ℕ)))
2521, 23, 24mpsyl 68 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))
2620, 25eqbrtrd 4826 1 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715   cuni 4588   class class class wbr 4804  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025  cdom 8121  cn 11232  clsccl 21044  𝑡clm 21252  Hauscha 21334  1st𝜔c1stc 21462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-top 20921  df-topon 20938  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-lm 21255  df-haus 21341  df-1stc 21464
This theorem is referenced by:  hauspwdom  21526
  Copyright terms: Public domain W3C validator