MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashv01gt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashv01gt1 13327
Description: The size of a set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashv01gt1 (𝑀𝑉 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Proof of Theorem hashv01gt1
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 13324 . 2 (𝑀𝑉 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
2 elnn0 11486 . . . 4 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑀) = 0))
3 exmidne 2942 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑀) = 1 ∨ (♯‘𝑀) ≠ 1)
4 nngt1ne1 11239 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → (1 < (♯‘𝑀) ↔ (♯‘𝑀) ≠ 1))
54orbi2d 740 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → (((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ (♯‘𝑀) ≠ 1)))
63, 5mpbiri 248 . . . . . . 7 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
76olcd 407 . . . . . 6 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀))))
8 3orass 1075 . . . . . 6 (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ ((♯‘𝑀) = 0 ∨ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀))))
97, 8sylibr 224 . . . . 5 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
10 3mix1 1415 . . . . 5 ((♯‘𝑀) = 0 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
119, 10jaoi 393 . . . 4 (((♯‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑀) = 0) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
122, 11sylbi 207 . . 3 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
13 1re 10231 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
14 ltpnf 12147 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 1 < +∞
16 breq2 4808 . . . . 5 ((♯‘𝑀) = +∞ → (1 < (♯‘𝑀) ↔ 1 < +∞))
1715, 16mpbiri 248 . . . 4 ((♯‘𝑀) = +∞ → 1 < (♯‘𝑀))
18173mix3d 1423 . . 3 ((♯‘𝑀) = +∞ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
1912, 18jaoi 393 . 2 (((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
201, 19syl 17 1 (𝑀𝑉 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  w3o 1071   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  +∞cpnf 10263   < clt 10266  cn 11212  0cn0 11484  chash 13311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-hash 13312
This theorem is referenced by:  hashge2el2difr  13455  01eq0ring  19474  tgldimor  25596  frgrwopreg  27477
  Copyright terms: Public domain W3C validator