MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashun 13363
Description: The size of the union of disjoint finite sets is the sum of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashun ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ficardun 9216 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (card‘(𝐴𝐵)) = ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)))
21fveq2d 6356 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(𝐴𝐵))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵))))
3 unfi 8392 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
4 eqid 2760 . . . . 5 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
54hashgval 13314 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐴𝐵)))
63, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐴𝐵)))
763adant3 1127 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(𝐴𝐵))) = (♯‘(𝐴𝐵)))
8 ficardom 8977 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
9 ficardom 8977 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ∈ ω)
104hashgadd 13358 . . . . 5 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))))
118, 9, 10syl2an 495 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))))
124hashgval 13314 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
134hashgval 13314 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
1412, 13oveqan12d 6832 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
1511, 14eqtrd 2794 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
16153adant3 1127 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
172, 7, 163eqtr3d 2802 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cun 3713  cin 3714  c0 4058  cmpt 4881  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230  reccrdg 7674   +𝑜 coa 7726  Fincfn 8121  cardccrd 8951  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  chash 13311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-hash 13312
This theorem is referenced by:  hashun2  13364  hashun3  13365  hashunx  13367  hashunsng  13373  hashssdif  13392  hashxplem  13412  hashfun  13416  hashbclem  13428  hashf1lem2  13432  climcndslem1  14780  climcndslem2  14781  phiprmpw  15683  prmreclem5  15826  4sqlem11  15861  ppidif  25088  mumul  25106  ppiub  25128  lgsquadlem2  25305  lgsquadlem3  25306  numedglnl  26238  cusgrsizeinds  26558  eupth2eucrct  27369  numclwwlk3lemOLD  27550  numclwwlk3lem  27552  ex-hash  27621  ballotlemgun  30895  ballotth  30908  subfacp1lem1  31468  subfacp1lem6  31474  poimirlem27  33749  eldioph2lem1  37825
  Copyright terms: Public domain W3C validator