MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashsng 13197
Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashsng (𝐴𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng
StepHypRef Expression
1 1z 11445 . . . 4 1 ∈ ℤ
2 en2sn 8078 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
31, 2mpan2 707 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4 snfi 8079 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
5 snfi 8079 . . . 4 {1} ∈ Fin
6 hashen 13175 . . . 4 (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((#‘{𝐴}) = (#‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
74, 5, 6mp2an 708 . . 3 ((#‘{𝐴}) = (#‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
83, 7sylibr 224 . 2 (𝐴𝑉 → (#‘{𝐴}) = (#‘{1}))
9 1nn0 11346 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
10 hashfz1 13174 . . . . 5 (1 ∈ ℕ0 → (#‘(1...1)) = 1)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (#‘(1...1)) = 1
12 fzsn 12421 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
1312fveq2d 6233 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (#‘(1...1)) = (#‘{1}))
1411, 13syl5reqr 2700 . . 3 (1 ∈ ℤ → (#‘{1}) = 1)
151, 14ax-mp 5 . 2 (#‘{1}) = 1
168, 15syl6eq 2701 1 (𝐴𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cen 7994  Fincfn 7997  1c1 9975  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  hashen1  13198  hashrabrsn  13199  hashrabsn01  13200  hashunsng  13219  hashprg  13220  hashprgOLD  13221  elprchashprn2  13222  hashdifsn  13240  hashsn01  13242  hash1snb  13245  hashmap  13260  hashfun  13262  hashbclem  13274  hashbc  13275  hashf1  13279  hash2prde  13290  hash2pwpr  13296  hashge2el2dif  13300  brfi1indlem  13316  s1len  13422  ackbijnn  14604  phicl2  15520  dfphi2  15526  vdwlem8  15739  ramcl  15780  cshwshashnsame  15857  symg1hash  17861  pgp0  18057  odcau  18065  sylow2a  18080  sylow3lem6  18093  prmcyg  18341  gsumsnfd  18397  ablfac1eulem  18517  ablfac1eu  18518  pgpfaclem2  18527  0ring01eqbi  19321  rng1nnzr  19322  fta1glem2  23971  fta1blem  23973  fta1lem  24107  vieta1lem2  24111  vieta1  24112  vmappw  24887  umgredgnlp  26087  lfuhgr1v0e  26191  usgr1vr  26192  uvtxnm1nbgr  26355  1hevtxdg1  26458  1egrvtxdg1  26461  lfgrwlkprop  26640  rusgrnumwwlkb0  26938  clwwlknon1le1  27076  eupth2eucrct  27195  fusgreghash2wspv  27315  ex-hash  27440  esumcst  30253  cntnevol  30419  coinflippv  30673  ccatmulgnn0dir  30747  ofcccat  30748  derang0  31277  poimirlem26  33565  poimirlem27  33566  poimirlem28  33567  0ringdif  42195  c0snmhm  42240
  Copyright terms: Public domain W3C validator