Theorem hashpw 13424

Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashpw	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4298	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2	1	fveq2d 6336	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘𝒫 𝐴))
3		fveq2 6332	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
4	3	oveq2d 6808	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝐴)))
5	2, 4	eqeq12d 2785	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴))))
6		vex 3352	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	pw2en 8222	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)
8		pwfi 8416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		df2o2 7727	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 = {∅, {∅}}
11		prfi 8390	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2845	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
13		mapfi 8417	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin)
14	12, 13	mpan 662	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin)
15		hashen 13338	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin) → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
16	9, 14, 15	syl2anc 565	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
17	7, 16	mpbiri 248	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
18		hashmap 13423	. . . . 5 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = ((♯‘2𝑜)↑(♯‘𝑥)))
19	12, 18	mpan 662	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = ((♯‘2𝑜)↑(♯‘𝑥)))
20		hash2 13394	. . . . 5 ⊢ (♯‘2𝑜) = 2
21	20	oveq1i 6802	. . . 4 ⊢ ((♯‘2𝑜)↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥))
22	19, 21	syl6eq 2820	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥)))
23	17, 22	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)))
24	5, 23	vtoclga 3421	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∅c0 4061  𝒫 cpw 4295  {csn 4314  {cpr 4316   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  2_𝑜c2o 7706   ↑_𝑚 cmap 8008   ≈ cen 8105  Fincfn 8108  2c2 11271  ↑cexp 13066  ♯chash 13320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321

This theorem is referenced by:  ackbijnn  14766