Theorem hashprgOLD 13221

Description: Obsolete version of hashprg 13220 as of 18-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hashprgOLD	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprgOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		elsni 4227	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
3	2	eqcomd 2657	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
4	3	necon3ai 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5		snfi 8079	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
6		hashunsng 13219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1)))
7	6	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
8	5, 7	mpanr1 719	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
9	1, 4, 8	syl2an 493	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
10		hashsng 13197	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (#‘{𝐴}) = 1)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘{𝐴}) = 1)
13	12	oveq1d 6705	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((#‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
14	9, 13	eqtrd 2685	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
15		df-pr 4213	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
16	15	fveq2i 6232	. . 3 ⊢ (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
17		df-2 11117	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2710	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
19		1ne2 11278	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 1 ≠ 2)
21	11, 20	eqnetrd 2890	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (#‘{𝐴}) ≠ 2)
22		dfsn2 4223	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
23		preq2 4301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
24	22, 23	syl5req 2698	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
25	24	fveq2d 6233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘{𝐴}))
26	25	neeq1d 2882	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (#‘{𝐴}) ≠ 2))
27	21, 26	syl5ibrcom 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
28	27	necon2d 2846	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((#‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴 ≠ 𝐵))
29	28	imp 444	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	18, 29	impbida 895	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∪ cun 3605  {csn 4210  {cpr 4212  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975   + caddc 9977  2c2 11108  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158

This theorem is referenced by: (None)