MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashprg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashprg 13394
Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashprg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprg
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
2 elsni 4338 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
32eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
43necon3ai 2957 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5 snfi 8205 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
6 hashunsng 13393 . . . . . . 7 (𝐵𝑊 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1)))
76imp 444 . . . . . 6 ((𝐵𝑊 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
85, 7mpanr1 721 . . . . 5 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
91, 4, 8syl2an 495 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
10 hashsng 13371 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘{𝐴}) = 1)
1211adantr 472 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴}) = 1)
1312oveq1d 6829 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → ((♯‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
149, 13eqtrd 2794 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
15 df-pr 4324 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
1615fveq2i 6356 . . 3 (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
17 df-2 11291 . . 3 2 = (1 + 1)
1814, 16, 173eqtr4g 2819 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
19 1ne2 11452 . . . . . . 7 1 ≠ 2
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 1 ≠ 2)
2111, 20eqnetrd 2999 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘{𝐴}) ≠ 2)
22 dfsn2 4334 . . . . . . . 8 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
23 preq2 4413 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
2422, 23syl5req 2807 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2524fveq2d 6357 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴}))
2625neeq1d 2991 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (♯‘{𝐴}) ≠ 2))
2721, 26syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
2827necon2d 2955 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴𝐵))
2928imp 444 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴𝐵)
3018, 29impbida 913 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cun 3713  {csn 4321  {cpr 4323  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  1c1 10149   + caddc 10151  2c2 11282  chash 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332
This theorem is referenced by:  hashprb  13397  prhash2ex  13399  hashfun  13436  hash2exprb  13465  nehash2  13468  hashtpg  13479  elss2prb  13481  wrdlen2i  13907  isnzr2hash  19486  dchrisum0re  25422  upgrex  26207  umgrbi  26216  usgr1e  26357  usgrexmplef  26371  cusgrexilem2  26569  cusgrfilem1  26582  umgr2v2e  26652  vdegp1bi  26664  eulerpathpr  27413  coinflipprob  30871  subfacp1lem1  31489  poimirlem9  33749  fourierdlem54  40898  fourierdlem102  40946  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  fourierdlem114  40958
  Copyright terms: Public domain W3C validator