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Theorem hashnzfzclim 39047
Description: As the upper bound 𝐾 of the constraint interval (𝐽...𝐾) in hashnzfz 39045 increases, the resulting count of multiples tends to (𝐾 / 𝑀) —that is, there are approximately (𝐾 / 𝑀) multiples of 𝑀 in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfzclim.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
hashnzfzclim.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
hashnzfzclim (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem hashnzfzclim
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfzclim.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3 hashnzfzclim.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
43adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
62, 4, 5hashnzfz 39045 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → (♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) = ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
76oveq1d 6811 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
87mpteq2dva 4879 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
9 nnuz 11930 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 1z 11614 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
121nncnd 11242 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
131nnne0d 11271 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
1412, 13reccld 11000 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
159eqimss2i 3809 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
16 nnex 11232 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
1715, 16climconst2 14487 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
1814, 10, 17sylancl 574 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
1916mptex 6633 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V)
21 ax-1cn 10200 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
22 divcnv 14792 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
24 ovex 6827 . . . . . . . . . . 11 (1 / 𝑀) ∈ V
2524fvconst2 6616 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
2625adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
2714adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
2826, 27eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) ∈ ℂ)
29 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)))
30 oveq2 6804 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
3130adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
32 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
33 ovexd 6829 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ V)
3429, 31, 32, 33fvmptd 6432 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
3532nnrecred 11272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
3634, 35eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
3736recnd 10274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
38 eqidd 2772 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))))
3930oveq2d 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4039adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
41 ovexd 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ V)
4238, 40, 32, 41fvmptd 6432 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4326, 34oveq12d 6814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4442, 43eqtr4d 2808 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)))
459, 11, 18, 20, 23, 28, 37, 44climsub 14572 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
4614subid1d 10587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑀) − 0) = (1 / 𝑀))
4745, 46breqtrd 4813 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ (1 / 𝑀))
4816mptex 6633 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V
4948a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V)
501nnrecred 11272 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
5150adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
52 nnre 11233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
5352adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54 nnne0 11259 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
5554adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ≠ 0)
5653, 55rereccld 11058 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5751, 56resubcld 10664 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ ℝ)
5842, 57eqeltrd 2850 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ∈ ℝ)
59 eqidd 2772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)))
60 fvoveq1 6819 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
61 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥𝑘 = 𝑥)
6260, 61oveq12d 6814 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
6362adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
64 ovexd 6829 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
6559, 63, 32, 64fvmptd 6432 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
661adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
6753, 66nndivred 11275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ)
68 reflcl 12805 . . . . . . . . 9 ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
7069, 53, 55redivcld 11059 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℝ)
7165, 70eqeltrd 2850 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
7267recnd 10274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℂ)
73 1cnd 10262 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
74 nncn 11234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
7574adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7672, 73, 75, 55divsubdird 11046 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)))
7712adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7813adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 0)
7975, 77, 78divrecd 11010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) = (𝑥 · (1 / 𝑀)))
8079oveq1d 6811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥))
8127, 75, 55divcan3d 11012 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
8280, 81eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
8382oveq1d 6811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
8476, 83eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
85 1red 10261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
8667, 85resubcld 10664 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
87 nnrp 12045 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
8887adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8969, 85readdcld 10275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) ∈ ℝ)
90 flle 12808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
9167, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
92 flflp1 12816 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
9367, 67, 92syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
9491, 93mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1))
9567, 89, 85, 94ltsub1dd 10845 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1))
9669recnd 10274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℂ)
9796, 73pncand 10599 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
9895, 97breqtrd 4813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
9986, 69, 88, 98ltdiv1dd 12132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10084, 99eqbrtrrd 4811 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10157, 70, 100ltled 10391 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ≤ ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
102 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
103102fvoveq1d 6818 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
104103, 102oveq12d 6814 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10559, 104, 32, 64fvmptd 6432 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
106101, 42, 1053brtr4d 4819 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ≤ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥))
10769, 67, 88, 91lediv1dd 12133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥))
108107, 82breqtrd 4813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
109105, 108eqbrtrd 4809 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
1109, 11, 47, 49, 58, 71, 106, 109climsqz 14579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
11116mptex 6633 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
112111a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V)
1133zred 11689 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
114 1red 10261 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
115113, 114resubcld 10664 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
116115, 1nndivred 11275 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽 − 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
117116flcld 12807 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℤ)
118117zcnd 11690 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
119 divcnv 14792 . . . . . 6 ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
120118, 119syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
12171recnd 10274 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
122 eqidd 2772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)))
123 oveq2 6804 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
124123adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
125 ovexd 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
126122, 124, 32, 125fvmptd 6432 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
127118adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
128127, 75, 55divcld 11007 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℂ)
129126, 128eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
13096, 127, 75, 55divsubdird 11046 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
131 eqidd 2772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
13260oveq1d 6811 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
133132, 61oveq12d 6814 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
134133adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
135 ovexd 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) ∈ V)
136131, 134, 32, 135fvmptd 6432 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
13765, 126oveq12d 6814 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
138130, 136, 1373eqtr4d 2815 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)))
1399, 11, 110, 112, 120, 121, 129, 138climsub 14572 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
140139, 46breqtrd 4813 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
141 uzssz 11913 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ
142 resmpt 5589 . . . . . . 7 ((ℤ‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
144143breq1i 4794 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
1453, 11zsubcld 11694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
146 zex 11593 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
147146mptex 6633 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
148 climres 14514 . . . . . 6 (((𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
149145, 147, 148sylancl 574 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
150144, 149syl5bbr 274 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
1519reseq2i 5530 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1))
152151breq1i 4794 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀))
153 nnssz 11604 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
154 resmpt 5589 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
155153, 154ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
156155breq1i 4794 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
157 climres 14514 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
15810, 147, 157mp2an 672 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
159152, 156, 1583bitr3i 290 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
160150, 159syl6bbr 278 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
161140, 160mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
1628, 161eqbrtrd 4809 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864   × cxp 5248  cres 5252  cima 5253  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472   / cdiv 10890  cn 11226  cz 11584  cuz 11893  +crp 12035  ...cfz 12533  cfl 12799  chash 13321  cli 14423  cdvds 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-dvds 15190
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