Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnzfz2 39022
Description: Special case of hashnzfz 39021: the count of multiples in nℤ, n greater than one, restricted to an interval starting at two. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfz2.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
hashnzfz2.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
hashnzfz2 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Proof of Theorem hashnzfz2
StepHypRef Expression
1 2nn 11377 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 uznnssnn 11928 . . . . 5 (2 ∈ ℕ → (ℤ‘2) ⊆ ℕ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (ℤ‘2) ⊆ ℕ
4 hashnzfz2.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
53, 4sseldi 3742 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 2z 11601 . . . 4 2 ∈ ℤ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8 hashnzfz2.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9 nnuz 11916 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 2m1e1 11327 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
1110fveq2i 6355 . . . . 5 (ℤ‘(2 − 1)) = (ℤ‘1)
129, 11eqtr4i 2785 . . . 4 ℕ = (ℤ‘(2 − 1))
138, 12syl6eleq 2849 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(2 − 1)))
145, 7, 13hashnzfz 39021 . 2 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))))
1510oveq1i 6823 . . . . 5 ((2 − 1) / 𝑁) = (1 / 𝑁)
1615fveq2i 6355 . . . 4 (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = (⌊‘(1 / 𝑁))
17 0red 10233 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
185nnrecred 11258 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
195nnred 11227 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
205nngt0d 11256 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2119, 20recgt0d 11150 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (1 / 𝑁))
2217, 18, 21ltled 10377 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
23 eluzle 11892 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
244, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
255nnzd 11673 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
26 zlem1lt 11621 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
276, 25, 26sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
2824, 27mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 − 1) < 𝑁)
2910, 28syl5eqbrr 4840 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑁)
305nnrpd 12063 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3130recgt1d 12079 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
3229, 31mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) < 1)
33 0p1e1 11324 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3432, 33syl6breqr 4846 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑁) < (0 + 1))
35 0z 11580 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
36 flbi 12811 . . . . . 6 (((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
3718, 35, 36sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
3822, 34, 37mpbir2and 995 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
3916, 38syl5eq 2806 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = 0)
4039oveq2d 6829 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0))
418nnred 11227 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4241, 5nndivred 11261 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
4342flcld 12793 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
4443zcnd 11675 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℂ)
4544subid1d 10573 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
4614, 40, 453eqtrd 2798 1 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cin 3714  wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804  cima 5269  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  cfl 12785  chash 13311  cdvds 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-hash 13312  df-dvds 15183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator