Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnn0n0nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnn0n0nn 13218
 Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashnn0n0nn (((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Proof of Theorem hashnn0n0nn
StepHypRef Expression
1 ne0i 3954 . . . . . . . 8 (𝑁𝑉𝑉 ≠ ∅)
2 hashge1 13216 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (#‘𝑉))
31, 2sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → 1 ≤ (#‘𝑉))
4 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
5 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
6 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
7 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
86, 7ltnlei 10196 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
95, 8mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 1 ≤ 0
10 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) = 0 → (1 ≤ (#‘𝑉) ↔ 1 ≤ 0))
119, 10mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑉) = 0 → ¬ 1 ≤ (#‘𝑉))
1211necon2ai 2852 . . . . . . . . . 10 (1 ≤ (#‘𝑉) → (#‘𝑉) ≠ 0)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ≠ 0)
14 elnnne0 11344 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
154, 13, 14sylanbrc 699 . . . . . . . 8 ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ)
1615ex 449 . . . . . . 7 (1 ≤ (#‘𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
173, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
1817impancom 455 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑉 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
1918com12 32 . . . 4 (𝑁𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
20 eleq1 2718 . . . . . 6 ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0))
2120anbi2d 740 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) ↔ (𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0)))
22 eleq1 2718 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑌 ∈ ℕ))
2321, 22imbi12d 333 . . . 4 ((#‘𝑉) = 𝑌 → (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ) ↔ ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
2419, 23syl5ib 234 . . 3 ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
2524imp 444 . 2 (((#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ))
2625impcom 445 1 (((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  #chash 13157 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158 This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  26405
 Copyright terms: Public domain W3C validator