MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashneq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashneq0 13368
Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashneq0 (𝐴𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashneq0
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 13345 . . 3 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞))
2 nn0re 11514 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
3 nn0ge0 11531 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
4 ne0gt0 10355 . . . . . 6 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 696 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
65bicomd 213 . . . 4 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
7 breq2 4809 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < +∞))
8 neeq1 2995 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
9 0ltpnf 12170 . . . . . . 7 0 < +∞
10 0re 10253 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
11 renepnf 10300 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ≠ +∞
1312necomi 2987 . . . . . . 7 +∞ ≠ 0
149, 132th 254 . . . . . 6 (0 < +∞ ↔ +∞ ≠ 0)
158, 14syl6rbbr 279 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < +∞ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
167, 15bitrd 268 . . . 4 ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
176, 16jaoi 393 . . 3 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞) → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
181, 17syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
19 hasheq0 13367 . . 3 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
2019necon3bid 2977 . 2 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2118, 20bitrd 268 1 (𝐴𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  c0 4059   class class class wbr 4805  cfv 6050  cr 10148  0cc0 10149  +∞cpnf 10284   < clt 10287  cle 10288  0cn0 11505  chash 13332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-hash 13333
This theorem is referenced by:  hashgt0n0  13369  wrdlenge1n0  13547  ccatws1n0  13628  ccatws1n0OLD  13629  swrdlsw  13673  2swrd1eqwrdeq  13675  ccats1swrdeq  13690  ccats1swrdeqrex  13699  wwlksnextinj  27039  clwwlkgt0  27131  clwwlkext2edg  27208  wwlksext2clwwlk  27209  wwlksext2clwwlkOLD  27210  numclwwlk2lem1lem  27520  numclwwlk2lem1lemOLD  27521  tgoldbachgt  31072  pfxsuff1eqwrdeq  41936  ccats1pfxeq  41950
  Copyright terms: Public domain W3C validator