MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnemnf 13172
Description: The size of a set is never minus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashnemnf (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) ≠ -∞)

Proof of Theorem hashnemnf
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 13170 . 2 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞))
2 mnfnre 10120 . . . . . 6 -∞ ∉ ℝ
3 df-nel 2927 . . . . . . 7 (-∞ ∉ ℝ ↔ ¬ -∞ ∈ ℝ)
4 nn0re 11339 . . . . . . . 8 (-∞ ∈ ℕ0 → -∞ ∈ ℝ)
54con3i 150 . . . . . . 7 (¬ -∞ ∈ ℝ → ¬ -∞ ∈ ℕ0)
63, 5sylbi 207 . . . . . 6 (-∞ ∉ ℝ → ¬ -∞ ∈ ℕ0)
72, 6ax-mp 5 . . . . 5 ¬ -∞ ∈ ℕ0
8 eleq1 2718 . . . . 5 ((#‘𝐴) = -∞ → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ -∞ ∈ ℕ0))
97, 8mtbiri 316 . . . 4 ((#‘𝐴) = -∞ → ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
109necon2ai 2852 . . 3 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘𝐴) ≠ -∞)
11 pnfnemnf 10132 . . . 4 +∞ ≠ -∞
12 neeq1 2885 . . . 4 ((#‘𝐴) = +∞ → ((#‘𝐴) ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
1311, 12mpbiri 248 . . 3 ((#‘𝐴) = +∞ → (#‘𝐴) ≠ -∞)
1410, 13jaoi 393 . 2 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞) → (#‘𝐴) ≠ -∞)
151, 14syl 17 1 (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  cfv 5926  cr 9973  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  0cn0 11330  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  hashinfxadd  13212
  Copyright terms: Public domain W3C validator