Theorem hashnemnf 13172

Description: The size of a set is never minus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashnemnf	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘𝐴) ≠ -∞)

Proof of Theorem hashnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 13170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞))
2		mnfnre 10120	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∉ ℝ
3		df-nel 2927	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∉ ℝ ↔ ¬ -∞ ∈ ℝ)
4		nn0re 11339	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞ ∈ ℕ0 → -∞ ∈ ℝ)
5	4	con3i 150	. . . . . . 7 ⊢ (¬ -∞ ∈ ℝ → ¬ -∞ ∈ ℕ0)
6	3, 5	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∉ ℝ → ¬ -∞ ∈ ℕ0)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℕ0
8		eleq1 2718	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) = -∞ → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ -∞ ∈ ℕ0))
9	7, 8	mtbiri 316	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐴) = -∞ → ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
10	9	necon2ai 2852	. . 3 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘𝐴) ≠ -∞)
11		pnfnemnf 10132	. . . 4 ⊢ +∞ ≠ -∞
12		neeq1 2885	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐴) = +∞ → ((#‘𝐴) ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
13	11, 12	mpbiri 248	. . 3 ⊢ ((#‘𝐴) = +∞ → (#‘𝐴) ≠ -∞)
14	10, 13	jaoi 393	. 2 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞) → (#‘𝐴) ≠ -∞)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘𝐴) ≠ -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∉ wnel 2926  ‘cfv 5926  ℝcr 9973  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  ℕ₀cn0 11330  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-hash 13158

This theorem is referenced by:  hashinfxadd  13212