Theorem hashle2pr 13297

Description: A nonempty set of size less than or equal to two is an unordered pair of sets. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashle2pr	⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((#‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashle2pr

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashxnn0 13167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0*)
2		xnn0le2is012 12114	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0* ∧ (#‘𝑃) ≤ 2) → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2))
3	1, 2	sylan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑃) ≤ 2) → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2))
4	3	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) ≤ 2 → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2)))
5		hasheq0 13192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
6		eqneqall 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
7	5, 6	syl6bi 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
8	7	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9		hash1snb 13245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑐 𝑃 = {𝑐}))
10		vex 3234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ V
11		preq12 4302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑐})
12		dfsn2 4223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑐} = {𝑐, 𝑐}
13	11, 12	syl6eqr 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐})
14	13	eqeq2d 2661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑐}))
15	10, 10, 14	spc2ev 3332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
16	15	exlimiv 1898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑐 𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
17	9, 16	syl6bi 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) = 1 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
18	17	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 1) → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
19	18	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
20	19	expcom 450	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
21		hash2pr 13289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
22	21	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
23	22	expcom 450	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
24	8, 20, 23	3jaoi 1431	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2) → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
25	24	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
26	4, 25	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑃) ≤ 2 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
27	26	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ((#‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
28	27	imp 444	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((#‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
29		fveq2 6229	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (#‘𝑃) = (#‘{𝑎, 𝑏}))
30		hashprlei 13288	. . . . 5 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ (#‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2)
31	30	simpri 477	. . . 4 ⊢ (#‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2
32	29, 31	syl6eqbr 4724	. . 3 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (#‘𝑃) ≤ 2)
33	32	exlimivv 1900	. 2 ⊢ (∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (#‘𝑃) ≤ 2)
34	28, 33	impbid1 215	1 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((#‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∨ w3o 1053   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   ≤ cle 10113  2c2 11108  ℕ₀^*cxnn0 11401  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158

This theorem is referenced by:  hashle2prv  13298