MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashinfxadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashinfxadd 13212
Description: The extended real addition of the size of an infinite set with the size of an arbitrary set yields plus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashinfxadd ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)

Proof of Theorem hashinfxadd
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 13170 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞))
2 df-nel 2927 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
32anbi2i 730 . . . . . . . 8 ((((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) ↔ (((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
4 pm5.61 749 . . . . . . . 8 ((((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ↔ ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
53, 4sylbb 209 . . . . . . 7 ((((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
65ex 449 . . . . . 6 (((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)))
76orcoms 403 . . . . 5 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞) → ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)))
81, 7syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)))
98imp 444 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
1093adant2 1100 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
11 oveq1 6697 . . . . 5 ((#‘𝐴) = +∞ → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = (+∞ +𝑒 (#‘𝐵)))
12 hashxrcl 13186 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
13 hashnemnf 13172 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) ≠ -∞)
1412, 13jca 553 . . . . . . 7 (𝐵𝑊 → ((#‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ≠ -∞))
15143ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ≠ -∞))
16 xaddpnf2 12096 . . . . . 6 (((#‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → (+∞ +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
1811, 17sylan9eqr 2707 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) ∧ (#‘𝐴) = +∞) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
1918expcom 450 . . 3 ((#‘𝐴) = +∞ → ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞))
2019adantr 480 . 2 (((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞))
2110, 20mpcom 38 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  cfv 5926  (class class class)co 6690  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111  0cn0 11330   +𝑒 cxad 11982  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  hashunx  13213
  Copyright terms: Public domain W3C validator