MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashimarn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashimarn 13429
Description: The size of the image of a one-to-one function 𝐸 under the range of a function 𝐹 which is a one-to-one function into the domain of 𝐸 equals the size of the function 𝐹. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashimarn ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹)))

Proof of Theorem hashimarn
StepHypRef Expression
1 f1f 6242 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
21frnd 6191 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ran 𝐹 ⊆ dom 𝐸)
32adantl 467 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → ran 𝐹 ⊆ dom 𝐸)
4 ssdmres 5560 . . . . 5 (ran 𝐹 ⊆ dom 𝐸 ↔ dom (𝐸 ↾ ran 𝐹) = ran 𝐹)
53, 4sylib 208 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → dom (𝐸 ↾ ran 𝐹) = ran 𝐹)
65fveq2d 6337 . . 3 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → (♯‘dom (𝐸 ↾ ran 𝐹)) = (♯‘ran 𝐹))
7 f1fun 6244 . . . . . . . 8 (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸 → Fun 𝐸)
8 funres 6071 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐸 → Fun (𝐸 ↾ ran 𝐹))
9 funfn 6060 . . . . . . . . 9 (Fun (𝐸 ↾ ran 𝐹) ↔ (𝐸 ↾ ran 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ ran 𝐹))
108, 9sylib 208 . . . . . . . 8 (Fun 𝐸 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ ran 𝐹))
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ ran 𝐹))
1211ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → (𝐸 ↾ ran 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ ran 𝐹))
13 hashfn 13366 . . . . . 6 ((𝐸 ↾ ran 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ ran 𝐹) → (♯‘(𝐸 ↾ ran 𝐹)) = (♯‘dom (𝐸 ↾ ran 𝐹)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → (♯‘(𝐸 ↾ ran 𝐹)) = (♯‘dom (𝐸 ↾ ran 𝐹)))
15 ovex 6827 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V
16 fex 6636 . . . . . . . 8 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
171, 15, 16sylancl 574 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹 ∈ V)
18 rnexg 7249 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ran 𝐹 ∈ V)
20 simpll 750 . . . . . . 7 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)
21 f1ssres 6249 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸 ∧ ran 𝐹 ⊆ dom 𝐸) → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹1-1→ran 𝐸)
2220, 3, 21syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹1-1→ran 𝐸)
23 hashf1rn 13345 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ V ∧ (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹1-1→ran 𝐸) → (♯‘(𝐸 ↾ ran 𝐹)) = (♯‘ran (𝐸 ↾ ran 𝐹)))
2419, 22, 23syl2an2 666 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → (♯‘(𝐸 ↾ ran 𝐹)) = (♯‘ran (𝐸 ↾ ran 𝐹)))
2514, 24eqtr3d 2807 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → (♯‘dom (𝐸 ↾ ran 𝐹)) = (♯‘ran (𝐸 ↾ ran 𝐹)))
26 df-ima 5263 . . . . 5 (𝐸 “ ran 𝐹) = ran (𝐸 ↾ ran 𝐹)
2726fveq2i 6336 . . . 4 (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘ran (𝐸 ↾ ran 𝐹))
2825, 27syl6reqr 2824 . . 3 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘dom (𝐸 ↾ ran 𝐹)))
29 hashf1rn 13345 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ V ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
3015, 29mpan 670 . . . 4 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
3130adantl 467 . . 3 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
326, 28, 313eqtr4d 2815 . 2 (((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹))
3332ex 397 1 ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723  dom cdm 5250  ran crn 5251  cres 5252  cima 5253  Fun wfun 6024   Fn wfn 6025  wf 6026  1-1wf1 6027  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  ..^cfzo 12673  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-hash 13322
This theorem is referenced by:  hashimarni  13430
  Copyright terms: Public domain W3C validator