MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt12el 13193
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
Distinct variable groups:   𝑊,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el
StepHypRef Expression
1 hash0 13141 . . . 4 (#‘∅) = 0
2 fveq2 6178 . . . 4 (∅ = 𝑉 → (#‘∅) = (#‘𝑉))
31, 2syl5eqr 2668 . . 3 (∅ = 𝑉 → 0 = (#‘𝑉))
4 breq2 4648 . . . . . . . 8 ((#‘𝑉) = 0 → (1 < (#‘𝑉) ↔ 1 < 0))
54biimpd 219 . . . . . . 7 ((#‘𝑉) = 0 → (1 < (#‘𝑉) → 1 < 0))
65eqcoms 2628 . . . . . 6 (0 = (#‘𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 1 < 0))
7 0le1 10536 . . . . . . 7 0 ≤ 1
8 0re 10025 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
9 1re 10024 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
108, 9lenlti 10142 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11 pm2.21 120 . . . . . . . 8 (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1210, 11sylbi 207 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
137, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
146, 13syl6com 37 . . . . 5 (1 < (#‘𝑉) → (0 = (#‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1514adantl 482 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (0 = (#‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1615com12 32 . . 3 (0 = (#‘𝑉) → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
173, 16syl 17 . 2 (∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
18 df-ne 2792 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
19 necom 2844 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
2018, 19bitr3i 266 . . 3 (¬ ∅ = 𝑉𝑉 ≠ ∅)
21 ralnex 2989 . . . . . . . 8 (∀𝑎𝑉 ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
22 ralnex 2989 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝑎𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏)
23 nne 2795 . . . . . . . . . . . 12 𝑎𝑏𝑎 = 𝑏)
24 equcom 1943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑎)
2523, 24bitri 264 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝑏𝑏 = 𝑎)
2625ralbii 2977 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2722, 26bitr3i 266 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2827ralbii 2977 . . . . . . . 8 (∀𝑎𝑉 ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2921, 28bitr3i 266 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
30 eqsn 4352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎))
3231bicomd 213 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎𝑉 = {𝑎}))
3332ralbidv 2983 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ ∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎}))
34 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) = (#‘{𝑎}))
35 hashsnle1 13188 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘{𝑎}) ≤ 1
3634, 35syl6eqbr 4683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) ≤ 1)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝑎𝑉) → (𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) ≤ 1))
3837reximdva0 3925 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑎𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) ≤ 1))
39 r19.36v 3080 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) ≤ 1) → (∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) ≤ 1))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) ≤ 1))
4133, 40sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 → (#‘𝑉) ≤ 1))
42 hashxrcl 13131 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝑊 → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
449rexri 10082 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
45 xrlenlt 10088 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4643, 44, 45sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4741, 46sylibd 229 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 → ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4829, 47syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏 → ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4948con4d 114 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (1 < (#‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5049impancom 456 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5150com12 32 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5220, 51sylbi 207 . 2 (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5317, 52pm2.61i 176 1 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  c0 3907  {csn 4168   class class class wbr 4644  cfv 5876  0cc0 9921  1c1 9922  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  #chash 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101
This theorem is referenced by:  ring1ne0  18572  frgrwopreglem5  27158
  Copyright terms: Public domain W3C validator