Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt0elex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt0elex 13391
 Description: If the size of a set is greater than zero, the set must contain at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashgt0elex ((𝑉𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥𝑉)
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem hashgt0elex
StepHypRef Expression
1 alnex 1854 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉 ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉)
2 eq0 4076 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉)
32biimpri 218 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉𝑉 = ∅)
43a1d 25 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉 → (𝑉𝑊𝑉 = ∅))
51, 4sylbir 225 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑥 𝑥𝑉 → (𝑉𝑊𝑉 = ∅))
65impcom 394 . . . . . 6 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → 𝑉 = ∅)
7 hashle00 13390 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
87adantr 466 . . . . . 6 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
96, 8mpbird 247 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → (♯‘𝑉) ≤ 0)
10 hashxrcl 13350 . . . . . . . 8 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
11 0xr 10288 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
12 xrlenlt 10305 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
1310, 11, 12sylancl 574 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
1413bicomd 213 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
1514adantr 466 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
169, 15mpbird 247 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → ¬ 0 < (♯‘𝑉))
1716ex 397 . . 3 (𝑉𝑊 → (¬ ∃𝑥 𝑥𝑉 → ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
1817con4d 115 . 2 (𝑉𝑊 → (0 < (♯‘𝑉) → ∃𝑥 𝑥𝑉))
1918imp 393 1 ((𝑉𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382  ∀wal 1629   = wceq 1631  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145  ∅c0 4063   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  0cc0 10138  ℝ*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277  ♯chash 13321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322 This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  13392  fi1uzind  13481  brfi1indALT  13484
 Copyright terms: Public domain W3C validator