MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2difr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2difr 13258
Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2difr ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦) → 2 ≤ (#‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashv01gt1 13128 . . 3 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 ∨ (#‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐷)))
2 hasheq0 13149 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3 rexeq 3137 . . . . . . 7 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦))
4 rex0 3936 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦
5 pm2.21 120 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
64, 5mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
73, 6sylbid 230 . . . . . 6 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
82, 7syl6bi 243 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
98com12 32 . . . 4 ((#‘𝐷) = 0 → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
10 hash1snb 13202 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = {𝑧} → 𝐷 = {𝑧})
12 rexeq 3137 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦))
1311, 12rexeqbidv 3151 . . . . . . . . 9 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦))
14 vex 3201 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
15 neeq1 2855 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
1615rexbidv 3050 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦))
1714, 16rexsn 4221 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦)
18 neeq2 2856 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑧𝑦𝑧𝑧))
1914, 18rexsn 4221 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦𝑧𝑧)
2017, 19bitri 264 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦𝑧𝑧)
2113, 20syl6bb 276 . . . . . . . 8 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦𝑧𝑧))
22 equid 1938 . . . . . . . . 9 𝑧 = 𝑧
23 eqneqall 2804 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑧 → (𝑧𝑧 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2422, 23mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐷 = {𝑧} → (𝑧𝑧 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2521, 24sylbid 230 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2625exlimiv 1857 . . . . . 6 (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2710, 26syl6bi 243 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 1 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
2827com12 32 . . . 4 ((#‘𝐷) = 1 → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
29 hashnn0pnf 13125 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐷) = +∞))
30 1z 11404 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
31 nn0z 11397 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (#‘𝐷) ∈ ℤ)
32 zltp1le 11424 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
3332biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
3430, 31, 33sylancr 695 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
35 df-2 11076 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3635breq1i 4658 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝐷))
3734, 36syl6ibr 242 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
38 2re 11087 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
3938rexri 10094 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
40 pnfge 11961 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
4139, 40mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
42 breq2 4655 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
4341, 42mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (#‘𝐷))
4443a1d 25 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐷) = +∞ → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4537, 44jaoi 394 . . . . . . . 8 (((#‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐷) = +∞) → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4629, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4746impcom 446 . . . . . 6 ((1 < (#‘𝐷) ∧ 𝐷𝑉) → 2 ≤ (#‘𝐷))
4847a1d 25 . . . . 5 ((1 < (#‘𝐷) ∧ 𝐷𝑉) → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4948ex 450 . . . 4 (1 < (#‘𝐷) → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
509, 28, 493jaoi 1390 . . 3 (((#‘𝐷) = 0 ∨ (#‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐷)) → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
511, 50mpcom 38 . 2 (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
5251imp 445 1 ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦) → 2 ≤ (#‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3o 1036   = wceq 1482  wex 1703  wcel 1989  wne 2793  wrex 2912  c0 3913  {csn 4175   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936  +∞cpnf 10068  *cxr 10070   < clt 10071  cle 10072  2c2 11067  0cn0 11289  cz 11374  #chash 13112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-hash 13113
This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13259  hashdmpropge2  13260  structgrssvtxlemOLD  25909
  Copyright terms: Public domain W3C validator