MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgadd 13378
Description: 𝐺 maps ordinal addition to integer addition. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgadd.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
hashgadd ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))

Proof of Theorem hashgadd
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝐴 +𝑜 𝑛) = (𝐴 +𝑜 ∅))
21fveq2d 6357 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +𝑜 ∅)))
3 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝐺𝑛) = (𝐺‘∅))
43oveq2d 6830 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))
52, 4eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑛 = ∅ → ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +𝑜 ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅))))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))))
7 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝐴 +𝑜 𝑛) = (𝐴 +𝑜 𝑧))
87fveq2d 6357 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)))
9 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑧))
109oveq2d 6830 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)))
118, 10eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)))))
13 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐴 +𝑜 𝑛) = (𝐴 +𝑜 suc 𝑧))
1413fveq2d 6357 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +𝑜 suc 𝑧)))
15 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘suc 𝑧))
1615oveq2d 6830 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
1714, 16eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +𝑜 suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
1817imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
19 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (𝐴 +𝑜 𝑛) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
2019fveq2d 6357 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝐵)))
21 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝐵))
2221oveq2d 6830 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))
2320, 22eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵))))
2423imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))))
25 hashgadd.1 . . . . . . . . 9 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2625hashgf1o 12984 . . . . . . . 8 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
27 f1of 6299 . . . . . . . 8 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ω⟶ℕ0)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:ω⟶ℕ0
2928ffvelrni 6522 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 11565 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
3130addid1d 10448 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + 0) = (𝐺𝐴))
32 0z 11600 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
3332, 25om2uz0i 12960 . . . . . 6 (𝐺‘∅) = 0
3433oveq2i 6825 . . . . 5 ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺𝐴) + 0)
3534a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺𝐴) + 0))
36 nna0 7855 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
3736fveq2d 6357 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 ∅)) = (𝐺𝐴))
3831, 35, 373eqtr4rd 2805 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))
39 nnasuc 7857 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc 𝑧) = suc (𝐴 +𝑜 𝑧))
4039fveq2d 6357 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +𝑜 𝑧)))
41 nnacl 7862 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝑧) ∈ ω)
4232, 25om2uzsuci 12961 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +𝑜 𝑧) ∈ ω → (𝐺‘suc (𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) + 1))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc (𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) + 1))
4440, 43eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) + 1))
45443adant3 1127 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) + 1))
4628ffvelrni 6522 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℕ0)
4746nn0cnd 11565 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
48 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
49 addass 10235 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5048, 49mp3an3 1562 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5130, 47, 50syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
52513adant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
53 oveq1 6821 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) + 1) = (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1))
54533ad2ant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) + 1) = (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1))
5532, 25om2uzsuci 12961 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
5655oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
57563ad2ant2 1129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5852, 54, 573eqtr4d 2804 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
5945, 58eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
60593expia 1115 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
6160expcom 450 . . . 4 (𝑧 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
6261a2d 29 . . 3 (𝑧 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
636, 12, 18, 24, 38, 62finds 7258 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵))))
6463impcom 445 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  c0 4058  cmpt 4881  cres 5268  suc csuc 5886  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814  ωcom 7231  reccrdg 7675   +𝑜 coa 7727  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  0cn0 11504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900
This theorem is referenced by:  hashdom  13380  hashun  13383
  Copyright terms: Public domain W3C validator