MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfzp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfzp1 13174
Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashfzp1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1
StepHypRef Expression
1 hash0 13114 . . . 4 (#‘∅) = 0
2 eluzelre 11658 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ltp1d 10914 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
4 eluzelz 11657 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
5 peano2z 11378 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
65ancri 574 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
7 fzn 12315 . . . . . . 7 (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
84, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
93, 8mpbid 222 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
109fveq2d 6162 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (#‘∅))
114zcnd 11443 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1211subidd 10340 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐵) = 0)
131, 10, 123eqtr4a 2681 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵))
14 oveq1 6622 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
1514oveq1d 6630 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 + 1)...𝐵) = ((𝐵 + 1)...𝐵))
1615fveq2d 6162 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (#‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
17 oveq2 6623 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
1816, 17eqeq12d 2636 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ((#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴) ↔ (#‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵)))
1913, 18syl5ibr 236 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
20 uzp1 11681 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
21 pm2.24 121 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2221eqcoms 2629 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
23 ax-1 6 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2422, 23jaoi 394 . . . . . . 7 ((𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2520, 24syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2625impcom 446 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)))
27 hashfz 13170 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
2826, 27syl 17 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
29 eluzel2 11652 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
3029zcnd 11443 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
31 1cnd 10016 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
3211, 30, 31nppcan2d 10378 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3332adantl 482 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3428, 33eqtrd 2655 . . 3 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
3534ex 450 . 2 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
3619, 35pm2.61i 176 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3897   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cmin 10226  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284  #chash 13073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074
This theorem is referenced by:  2lgslem1  25053
  Copyright terms: Public domain W3C validator