MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfz1 13174
Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
21cardfz 12809 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁))
32fveq2d 6233 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)))
4 fzfid 12812 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
51hashgval 13160 . . 3 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (#‘(1...𝑁)))
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (#‘(1...𝑁)))
71hashgf1o 12810 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
8 f1ocnvfv2 6573 . . 3 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
97, 8mpan 706 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
103, 6, 93eqtr3d 2693 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cmpt 4762  ccnv 5142  cres 5145  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  reccrdg 7550  Fincfn 7997  cardccrd 8799  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  0cn0 11330  ...cfz 12364  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  fz1eqb  13183  isfinite4  13191  hasheq0  13192  hashsng  13197  fseq1hash  13203  hashdom  13206  hashfz  13252  ishashinf  13285  isercolllem2  14440  isercoll  14442  summolem3  14489  summolem2a  14490  o1fsum  14589  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  harmonic  14635  mertenslem1  14660  prodmolem3  14707  prodmolem2a  14708  risefallfac  14799  bpolylem  14823  phicl2  15520  phibnd  15523  hashdvds  15527  phiprmpw  15528  eulerth  15535  pcfac  15650  prmreclem2  15668  prmreclem3  15669  prmreclem5  15671  4sqlem11  15706  vdwlem12  15743  ramub2  15765  ramlb  15770  0ram  15771  ram0  15773  dfod2  18027  gsumval3  18354  uniioombllem4  23400  birthdaylem2  24724  birthdaylem3  24725  basellem4  24855  basellem5  24856  basellem8  24859  ppiltx  24948  vmasum  24986  logfac2  24987  chpval2  24988  chpchtsum  24989  chpub  24990  logfaclbnd  24992  bposlem1  25054  lgsqrlem4  25119  gausslemma2dlem6  25142  lgseisenlem4  25148  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  lgsquadlem3  25152  dchrmusum2  25228  dchrisum0lem2a  25251  mudivsum  25264  mulogsumlem  25265  selberglem2  25280  ballotlem1  30676  ballotlemfmpn  30684  derangen2  31282  subfaclefac  31284  subfacp1lem1  31287  erdszelem10  31308  erdsze2lem1  31311  snmlff  31437  bcprod  31750  bj-finsumval0  33277  eldioph2lem1  37640  rp-isfinite5  38180  rp-isfinite6  38181  stoweidlem38  40573  dirkertrigeq  40636  etransclem32  40801  nn0mulfsum  42743  aacllem  42875
  Copyright terms: Public domain W3C validator