MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfun 13180
Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfun (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)))

Proof of Theorem hashfun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfn 5887 . . 3 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
2 hashfn 13120 . . 3 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹))
31, 2sylbi 207 . 2 (Fun 𝐹 → (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹))
4 dmfi 8204 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
5 hashcl 13103 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐹 ∈ Fin → (#‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
76nn0red 11312 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (#‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
9 df-rel 5091 . . . . . . . . . . . . 13 (Rel 𝐹𝐹 ⊆ (V × V))
10 dfss3 3578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ⊆ (V × V) ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
119, 10bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 (Rel 𝐹 ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
1211notbii 310 . . . . . . . . . . 11 (¬ Rel 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
13 rexnal 2991 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) ↔ ¬ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
1412, 13bitr4i 267 . . . . . . . . . 10 (¬ Rel 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V))
15 dmun 5301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})
1615fveq2i 6161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}))
17 dmsnn0 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (V × V) ↔ dom {𝑥} ≠ ∅)
1817biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (dom {𝑥} ≠ ∅ → 𝑥 ∈ (V × V))
1918necon1bi 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ (V × V) → dom {𝑥} = ∅)
20193ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → dom {𝑥} = ∅)
2120uneq2d 3751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅))
22 un0 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅) = dom (𝐹 ∖ {𝑥})
2321, 22syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = dom (𝐹 ∖ {𝑥}))
2423fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})) = (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
2516, 24syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
26 diffi 8152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
27 dmfi 8204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
29 hashcl 13103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3130nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
32 hashcl 13103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3326, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3433nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
35 peano2re 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
37 fidomdm 8203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
39 hashdom 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
4028, 26, 39syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
4138, 40mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
4234ltp1d 10914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
4331, 34, 36, 41, 42lelttrd 10155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
44433ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
4525, 44eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
46 snfi 7998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥} ∈ Fin
47 incom 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐹 ∖ {𝑥}))
48 disjdif 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑥} ∩ (𝐹 ∖ {𝑥})) = ∅
4947, 48eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
50 hashun 13127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})))
5146, 49, 50mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})))
5226, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})))
53 vex 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
54 hashsng 13115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ V → (#‘{𝑥}) = 1)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (#‘{𝑥}) = 1
5655oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1)
5752, 56syl6req 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
58573ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
5945, 58breqtrd 4649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
60 difsnid 4317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐹)
6160dmeqd 5296 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐹 → dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = dom 𝐹)
6261fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐹 → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘dom 𝐹))
63623ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘dom 𝐹))
6460fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐹 → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘𝐹))
65643ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘𝐹))
6659, 63, 653brtr3d 4654 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹))
6766rexlimdv3a 3028 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹)))
6814, 67syl5bi 232 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹)))
6968imp 445 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹))
708, 69gtned 10132 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹))
7170ex 450 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
7271necon4bd 2810 . . . . 5 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹) → Rel 𝐹))
7372imp 445 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)) → Rel 𝐹)
74 2nalexn 1752 . . . . . . . 8 (¬ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
75 df-ne 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑧 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧)
7675anbi2i 729 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧))
77 annim 441 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
7876, 77bitri 264 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
7978exbii 1771 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) ↔ ∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
80 exnal 1751 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
8179, 80bitr2i 265 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧))
82812exbii 1772 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧))
8374, 82bitri 264 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧))
847adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
85 2re 11050 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
86 diffi 8152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
87 dmfi 8204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
89 hashcl 13103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
9190nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
93 readdcl 9979 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
9485, 92, 93sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
95 hashcl 13103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
9695nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
98 1re 9999 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
99 readdcl 9979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
10098, 91, 99sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
101100adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
10285, 91, 93sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
104 dmun 5301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
105 opex 4903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
106 opex 4903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥, 𝑧⟩ ∈ V
107105, 106prss 4326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹)
108 undif 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
109107, 108sylbb 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
110109dmeqd 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = dom 𝐹)
111104, 110syl5reqr 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
112 vex 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ V
113 vex 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧 ∈ V
114112, 113dmprop 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥, 𝑥}
115 dfsn2 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑥} = {𝑥, 𝑥}
116114, 115eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥}
117116uneq1i 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
118111, 117syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
119118fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (#‘dom 𝐹) = (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
120119ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom 𝐹) = (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
121 hashun2 13128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑥} ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((#‘{𝑥}) + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
12246, 88, 121sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((#‘{𝑥}) + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
12355oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘{𝑥}) + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
124122, 123syl6breq 4664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
125124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
126120, 125eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom 𝐹) ≤ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
127 1lt2 11154 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
128 ltadd1 10455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 < 2 ↔ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
12998, 85, 91, 128mp3an12i 1425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (1 < 2 ↔ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
130127, 129mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
131130adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
13284, 101, 103, 126, 131lelttrd 10155 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom 𝐹) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
133 fidomdm 8203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
13486, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
135 hashdom 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
13688, 86, 135syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
137134, 136mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
138 hashcl 13103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
13986, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
140139nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
141 leadd2 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
14285, 141mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
14391, 140, 142syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
144137, 143mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
145144adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
146 prfi 8195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin
147 disjdif 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅
148 hashun 13127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
149146, 147, 148mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
15086, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
151150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
152109fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (#‘𝐹))
153152ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (#‘𝐹))
15453, 112opth 4915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑧))
155154simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧)
156155necon3i 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑧 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩)
157 hashprg 13138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2))
158105, 106, 157mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
159156, 158sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑧 → (#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
160159oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑧 → ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
161160ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
162151, 153, 1613eqtr3rd 2664 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (#‘𝐹))
163145, 162breqtrd 4649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (#‘𝐹))
16484, 94, 97, 132, 163ltletrd 10157 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹))
16584, 164gtned 10132 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹))
166165ex 450 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Fin → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
167166exlimdv 1858 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
168167exlimdvv 1859 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
16983, 168syl5bi 232 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Fin → (¬ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
170169necon4bd 2810 . . . . 5 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
171170imp 445 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
172 dffun4 5869 . . . 4 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
17373, 171, 172sylanbrc 697 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)) → Fun 𝐹)
174173ex 450 . 2 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹) → Fun 𝐹))
1753, 174impbid2 216 1 (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  cdif 3557  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3897  {csn 4155  {cpr 4157  cop 4161   class class class wbr 4623   × cxp 5082  dom cdm 5084  Rel wrel 5089  Fun wfun 5851   Fn wfn 5852  cfv 5857  (class class class)co 6615  cdom 7913  Fincfn 7915  cr 9895  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cle 10035  2c2 11030  0cn0 11252  #chash 13073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074
This theorem is referenced by:  ccatalpha  13330
  Copyright terms: Public domain W3C validator