MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashf1rnOLD 13126
Description: Obsolete version of hashf1rn 13125 as of 4-May-2021. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rnOLD ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹)))

Proof of Theorem hashf1rnOLD
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6088 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 fex 6475 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
32ex 450 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐴𝑉𝐹 ∈ V))
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉𝐹 ∈ V))
54com12 32 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
65adantr 481 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
76imp 445 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
8 rnexg 7083 . . . 4 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
97, 8jccir 561 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 ∈ V))
10 f1o2ndf1 7270 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
11 df-2nd 7154 . . . . . . . . . 10 2nd = (𝑥 ∈ V ↦ ran {𝑥})
1211funmpt2 5915 . . . . . . . . 9 Fun 2nd
132expcom 451 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹 ∈ V))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴𝐵𝐹 ∈ V))
151, 14syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐹 ∈ V))
1615impcom 446 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
17 resfunexg 6464 . . . . . . . . 9 ((Fun 2nd𝐹 ∈ V) → (2nd𝐹) ∈ V)
1812, 16, 17sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (2nd𝐹) ∈ V)
19 f1oeq1 6114 . . . . . . . . . . 11 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2019biimpd 219 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2120eqcoms 2628 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (2nd𝐹) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2221adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑓 = (2nd𝐹)) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2318, 22spcimedv 3287 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2423ex 450 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2524com13 88 . . . . 5 ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2610, 25mpcom 38 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2726impcom 446 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
28 hasheqf1oiOLD 13124 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 ∈ V) → (∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹)))
299, 27, 28sylc 65 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹))
3029ex 450 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  Vcvv 3195  {csn 4168   cuni 4427  ran crn 5105  cres 5106  Fun wfun 5870  wf 5872  1-1wf1 5873  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  2nd c2nd 7152  #chash 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-hash 13101
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator